[논문 리뷰] Sojourn time in a $M^{[X]}/M/1$ Processor Sharing Queue with batch arrivals (II)

Fabrice Guillemin, Veronica Quintuna Rodriguez외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 03.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기하분포를 따르는 배치 크기를 가정할 때, 도착 배치가 있는 $M^{[X]}/M/1$ 프로세서 샤링 대기열에서의 배치 소류 시간 분포를 유도한다. 무한차원 선형 미분계수계로 시스템을 모델링하고, 이를 이변수 생성함수에 대한 지배하는 편미분방정식(PDE)으로 변환함으로써, 저자들은 라플라스 변환과 특성곡선을 사용하여 PDE를 해결하여 소류 시간 분포의 적분 표현식과 그 尾행동을 최종적으로 도출한다.

ABSTRACT

For the $M^{[X]}/M/1$ processor Sharing queue with batch arrivals, the sojourn time $Ω$ of a batch is investigated. We first show that the distribution of $Ω$ can be generally obtained from an infinite linear differential system. When further assuming that the batch size has a geometric distribution with given parameter $q \in [0,1[$, this differential system is further analyzed by means of an associated bivariate generating function $(x,u,v) \mapsto E(x,u,v)$. Specifically, denoting by $s \mapsto E^*(s,u,v)$ the one-sided Laplace transform of $E(\cdot,u,v)$ and defining $$ Φ(s,u,v) = P(s,u) \, (1-v) \, F^*(s,u,uv), \quad 0 < \vert u \vert < 1, \, \vert v \vert < 1, $$ for some known polynomial $P(s,u)$ and where $$ F^*(s,u,v) = \frac{E^*(s,u,v)-E^*(s,q,v)}{u-q}, $$ we show that the function $Φ$ verifies an inhomogeneous linear partial differential equation (PDE) $$ \frac{\partial Φ}{\partial u} - \left [ \frac{u - q}{P(s,u)} ight ] v(1-v) \, \frac{\partial Φ}{\partial v} + \ell(s,u,v) = 0 $$ for given $s$, where the last term $\ell(s,u,v)$ involves both $E^*(s,q,v)$ and the first order derivative $\partial E^*(s,q,v)/\partial v$ at the boundary point $u = q$. Solving this PDE for $Φ$ via its characteristic curves and with the required analyticity properties eventually determines the one-sided Laplace transform $E^*$. By means of a Laplace inversion of this transform $E^*$, the distribution function of the sojourn time $Ω$ of a batch is then given in an integral form. The tail behavior of the distribution of sojourn time $Ω$ is finally derived.

연구 동기 및 목표

• 배치 도착이 있는 $M^{[X]}/M/1$ 프로세서 샤링 대기열에서 전체 배치의 정적분포인 소류 시간 $\Omega$ 를 특성화하기.
• 기존 문헌에서 $B > 1$에 대해 다루지 않은 바 있는, 배치 소류 시간 분포를 유도하여 격차를 메우기.
• 기하분포를 따르는 배치 크기를 가정할 때 소류 시간 분포의 尾행동을 분석하기.
• 대기열 모델에서 유도되는 무한차원 시스템을 다룰 수 있는 생성함수와 라플라스 변환 기반의 해법 프레임워크를 개발하기.

제안 방법

• 배치 도착 시 시스템 내 일련의 일자 수에 기반하여, 배치의 소류 시간 분포를 무한차원 선형 미분계수계로 설정하기.
• 시스템 상태 및 배치 크기에 조건부로 소류 시간 분포 함수를 집계하기 위해 이변수 생성함수 $E(x,u,v)$ 를 정의하기.
• 생성함수 $E(x,u,v)$ 의 한쪽 끝 라플라스 변환 $E^*(s,u,v)$ 에 대한 지배적인 2차 선형 PDE로 시스템을 변환하기.
• 경계 조건 $u = q$ 에서의 값들을 포함하는 비동차 선형 PDE로 지배 PDE를 단순화하기 위해 보조 함수 $F^*$ 와 $\Phi$ 를 도입하기.
• 특성곡선을 사용하여 $\Phi$ 의 PDE를 해결하고, 비동차 항에 대한 필요 및 충분 조건을 통해 $u = 0$ 에서의 해석성 조건을 강제하기.
• 초기 조건에 대한 적분을 포함하는 하삼각형 선형계를 통해 라플라스 변환 $E^*(s,q,v)$ 를 결정함으로써, 역라플라스 변환을 통해 분포를 복원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배치 도착이 있는 $M^{[X]}/M/1$ 프로세서 샤링 대기열에서의 배치 소류 시간 $\Omega$ 의 정확한 분포는 무엇인가?
• RQ2 배치 소류 시간 분포의 尾행동은 도착률 $\lambda$, 서비스률 $\mu$, 배치 크기 파라미터 $q$ 와 같은 시스템 파라미터에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 생성함수와 라플라스 변환을 사용하여, 소류 시간을 지배하는 무한차원 시스템을 해법 가능한 PDE로 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 기하분포를 따르는 배치 크기가 소류 시간 분포에 대한 명시적 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 소류 시간 분포는 경계 조건이 있는 PDE를 풀어 얻은 $E^*(s,u,v)$ 의 라플라스 역변환을 통해 적분 형태로 도출된다.
• 라플라스 변환 $E^*(s,q,v)$ 는 가우스 기하급수 함수의 적분을 포함하는 하삼각형 선형계에 의해 유일하게 결정된다.
• 소류 시간 분포의 尾행동이 유도되었으며, 이는 큰 소류 시간에 대한 점 渐近 감쇠율을 제공한다.
• 해결책은 $u=0$ 에서의 해석성에 필요한 필요 및 충분 조건에 기반하며, 이는 PDE의 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 지배 PDE인 $\Phi$ 는 특성곡선을 사용하여 해결되었으며, 비동차 항은 $u=q$ 에서 $E^*$ 의 경계값을 포함한다.
• 이 방법은 소류 시간을 지배하는 무한차원 시스템을 계수 $E_b^*(s,q)$ 에 대한 유한차원 선형계로 감소시켜, 변환의 명시적 계산을 가능하게 한다.