[논문 리뷰] Sojourn times of Gaussian related random fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 27.

Probability and Risk Models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 관련 랜덤 필드에서 체류 시간과 최대값 尾 확률 간의 새로운 역점근적 관계를 수립하며, 체류 시간의 정확한 尾 점근적 행동을 유도하기 위해 균일 이중합 방법을 도입한다. 이는 최대값 尾 행동을 안다면 체류 시간 점근적 행동을 정확히 유도할 수 있음을 증명하며, 이는 이중 차원 가우시안 필드, 카이-과정, 정상 가우시안 큐잉 과정에 대해 검증되었으며 수렴 속도가 명시되고 일반화된 버먼 유형의 상수가 포함되어 있다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic analysis of sojourn times of random fields with continuous sample paths. Under a very general framework we show that there is an interesting relationship between tail asymptotics of sojourn times and that of supremum. Moreover, we establish the uniform double-sum method to derive the tail asymptotics of sojourn times. In the literature, based on the pioneering research of S. Berman the sojourn times have been utilised to derive the tail asymptotics of supremum of Gaussian processes. In this paper we show that the opposite direction is even more fruitful, namely knowing the asymptotics of supremum o f random processes and fields (in particular Gaussian) it is possible to establish the asymptotics of their sojourn times. We illustrate our findings considering i) two dimensional Gaussian random fields, ii) chi-process generated by stationary Gaussian processes and iii) stationary Gaussian queueing processes.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 관련 랜덤 필드에서 체류 시간과 최대값 尾 확률 간의 역점근적 관계를 체계화한다.
• 이전에 체류 시간 점근적 결과가 없는 다차원 랜덤 필드(d ≥ 2)에 대해 균일 이중합 방법을 개발한다.
• 조건부 체류 시간 분포가 비퇴화한 극한으로 수렴할 조건을 확립하여 정확한 점근적 근사가 가능하게 한다.
• 이 방법의 적용 가능성을 이중 차원 가우시안 랜덤 필드, 카이-과정, 정상 가우시안 큐잉 과정의 세 가지 다른 클래스에 대해 보여준다.
• 한계 체류 시간 분포를 지배하는 일반화된 버먼 유형 상수에 대한 명시적 표현을 도출한다.

제안 방법

• 연속된 표본 경로를 가진 랜덤 필드의 체류 시간을 분석하기 위해 균일 이중합 방법을 도입한다.
• 체류 시간을 수준 u 이상의 교란 집합의 르베그 체적으로 정의하고, u → ∞ 일 때의 꼬리 행동을 연구한다.
• 세 가지 핵심 조건을 확립한다: (A1) 관련 집합으로의 축소, (A2) 균일 단일합 근사, (A3) 이중합의 무시 가능성.
• 일반화된 버먼 유형 상수를 사용하여 체류 시간의 한계 분포를 특징지며, 분수 차수 브라운 운동 증분을 포함하는 적분 표현을 통해 유도한다.
• 이 방법을 세 클래스에 적용한다: 2D GRFs, 카이-과정, 반사된 분수 차수 브라운 운동으로서, 일반 조건 하에서 A1–A3를 검증한다.
• 점근적 전개와 지수적 경계를 사용하여 꼬리 확률를 제어하고 이중합 항의 수렴성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 랜덤 필드의 최대값 꼬리 점근적 행동이 알려져 있을 때 체류 시간의 꼬리 점근적 행동를 도출할 수 있는가?
• RQ2 u → ∞ 일 때 조건부 체류 시간 분포가 비퇴화한 극한으로 수렴할 조건은 무엇인가?
• RQ3 균일 이중합 방법는 어떻게 체계화하고 다차원 가우시안 랜덤 필드(d ≥ 2)에 적용할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 버먼 유형 상수는 한계 체류 시간 분포를 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 최대값과 체류 시간 점근적 행동 간의 역관계는 정상성 또는 가우시안 과정을 초월해 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 체류 시간 꼬리 점근적 행동가 최대값 꼬리 점근적 행동에 비례함을 증명한다: u → ∞ 일 때 ru(z) ∼ ¯F(z)pu, 여기서 ¯F(z)는 조건부 체류 시간 분포의 한계이다.
• 균일 이중합 방법은 d ≥ 2에서 정확한 체류 시간 점근적 행동을 성공적으로 도출하였으며, 이는 이전에 문헌에서 결과가 없었던 영역이다.
• 이중 차원 가우시안 랜덤 필드의 경우, 한계 체류 시간 분포는 분수 차수 브라운 운동 증분을 포함하는 일반화된 버먼 유형 상수로 특징지어진다.
• 카이-과정과 반사된 분수 차수 브라운 운동에서는 일반적인 가정 하에서 조건 A1–A3가 검증되어 정확한 체류 시간 점근적 행동이 가능하다.
• 이 방법은 체류 시간 꼬리 확률과 최대값 꼬리 확률의 비율이 확정적 극한 ¯F(z)로 수렴함을 확인하였으며, 적분 표현을 통해 명시적 표현을 도출할 수 있다.
• 이중합 항의 수렴 속도는 지수적 경계를 통해 제어되며, 주어진 조건 하에서 무시 가능함을 보장한다.