[논문 리뷰] Solid-set functions and topological measures on locally compact spaces

Svetlana V. Butler|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 05.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act하고 연결되어 있으며 국소적으로 연결된 공간에서 고체집합 함수를 사용하여 위상적 측도를 구성하는 방법을 제시한다. 유계 고체집합 위에서 정의된 고체집합 함수가 유일하게 위상적 측도로 연장될 수 있음을 증명하고, 성질 0인 한점 컴팩트화를 통해 컴팩트 공간의 예시로부터 이러한 측도를 구성적으로 생성하는 기법을 제공한다.

ABSTRACT

A topological measure on a locally compact space is a set function on open and closed subsets which is finitely additive on the collection of open and compact sets, inner regular on open sets, and outer regular on closed sets. Almost all works devoted to topological measures, corresponding non-linear functionals, and their applications deal with compact spaces. The present paper is one in a series that investigates topological measures and corresponding non-linear functionals on locally compact spaces. Here we examine solid and semi-solid sets on a locally compact space. We then give a method of constructing topological measures from solid-set functions on a locally compact, connected, locally connected space. The paper gives examples of finite and infinite topological measures on locally compact, non-compact spaces and presents an easy way to generate topological measures on spaces whose one-point compactification has genus 0 from existing examples of topological measures on compact spaces.

연구 동기 및 목표

• 비컴팩트 국소적으로 컴팩트 공간에서 위상적 측도의 완전하고 엄밀한 구성이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 이전 연구에서 연결 및 코연결 집합에 의존한 한계를 극복하기 위해, 이는 임의의 측도를 초래할 수 있음.
• 국소적으로 컴팩트 공간에서 고체집합 함수를 위상적 측도로 확장하는 체계적인 방법을 개발하기 위해.
• 기존 컴팩트 공간의 예시를 바탕으로 $\mathbb{R}^n$ 및 반공간과 같은 비컴팩트 공간에서 위상적 측도를 실용적으로 생성할 수 있는 방법을 제공하기 위해.
• 위상적 측도가 컴팩트 고체집합에 제한될 경우 유일하게 결정됨을 확립하여, 측도 확장의 유일성을 보장하기 위해.

제안 방법

• 고체집합을 보완 집합이 유계 성분만을 가지는 연결 집합으로 정의하고, 반고체집합을 보완 집합이 유한한 성분을 가지는 연결 집합으로 정의한다.
• 유계 고체집합 위에서 정의된 음이 아닌 집합 함수로서, 유한한 덧셈성, 단조성, 증가하는 합집합에 대한 연속성을 만족하는 고체집합 함수를 도입한다.
• 한계 과정을 사용하여 고체집합 함수를 유계 고체집합에서 컴팩트 연결 반고체집합으로 확장한다.
• 유한한 개의 서로소 컴팩트 연결 집합의 합집합으로 유한한 덧셈성과 연속성을 사용하여 더 넓게 확장한다.
• 결과로 얻어진 집합 함수가 전체 공간에서 위상적 측도임을 증명하며, 내부 및 외부 정규성과 열린 집합 및 컴팩트 집합에서의 유한한 덧셈성을 만족함을 보인다.
• 성질 0인 한점 컴팩트화를 사용하여 성질 0인 공간의 컴팩트화된 공간에서 알려진 위상적 측도를 비컴팩트 공간으로 이전시키기 위해 정리 64를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴팩트하고 비컴팩트인 공간에서 위상적 측도를 어떻게 시스템적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 집합의 성질(예: 고체 또는 반고체)이 집합 함수를 위상적 측도로 잘 정의된 확장 가능하게 하는가?
• RQ3 컴팩트 공간에서의 위상적 측도를 사용하여 국소적으로 컴팩트하지만 비컴팩트인 공간에서 위상적 측도를 생성할 수 있는가?
• RQ4 이전의 연결 및 코연결 집합에 기반한 구성 방식이 비컴팩트 환경에서 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 고체집합 함수에서의 위상적 측도 확장의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 국소적으로 컴팩트하고 연결되어 있으며 국소적으로 연결된 공간에서 정의된 유계 고체집합 위의 고체집합 함수는 전체 공간에서 유일하게 위상적 측도로 연장된다.
• 확장 과정은 단계적으로 이루어지며, 먼저 컴팩트 연결 반고체집합으로, 그 다음 유한한 개의 서로소 컴팩트 연결 집합의 합집합으로, 마지막으로 전체 위상적 측도로 진행된다.
• 논문은 위상적 측도가 비록 $\mathscr{K}(X) \cup \mathscr{O}(X)$에서의 유한한 덧셈성을 만족하더라도, 부분합성의 실패로 인해 하위덧셈성을 만족하지 못할 수 있음을 보여주는 반례를 제공한다. 이는 측도와의 차이를 드러낸다.
• 정리 64는, 공간 $X$가 성질 0인 한점 컴팩트화를 가질 경우, $\hat{X}$ 위의 고체집합 함수가 $X$ 위의 고체집합 함수로 제한되며, 이는 $X$ 위의 위상적 측도로 유일하게 확장됨을 보장한다.
• 예시로는 점 기반 함수를 사용한 $\mathbb{R}^n$ 및 $\mathbb{R}^2$ 위의 유한한 위상적 측도와, 르베그 측도로부터 유도된 $\mathbb{R}^n$ 위의 무한한 위상적 측도가 포함된다.
• 제시된 위상적 측도는 반드시 측도는 아니며, 예제 62와 63에서 보듯이 하위덧셈성에 실패할 수 있음이 입증되었다. 그러나 이는 컴팩트 및 열린 집합에서의 유한한 덧셈성을 만족한다.