[논문 리뷰] Solitary waves for nonlinear Schrödinger equation with derivative

Changxing Miao, Xingdong Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 구조 분석과 변분 방법을 통해 파생 비선형 슈뢰딩거 방정식(DNLS)에 대한 고립파의 존재성, 유일성 및 전역 적으로 잘 정의된 성질을 확립한다. $4\omega > c^2$ 또는 $4\omega = c^2, c > 0$일 때 고립파가 존재하고 대칭에 대해 유일하며, $4\omega \leq c^2$ 이면서 $c \leq 0$ 또는 $4\omega < c^2$일 경우 비자명한 고립파는 존재하지 않는다. 초기 데이터가 불변 집합 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$에 속할 경우 전역 해가 존재함을 보이며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we characterize a family of solitary waves for NLS with derivative (DNLS) by the structue analysis and the variational argument. Since (DNLS) doesn't enjoy the Galilean invariance any more, the structure analysis here is closely related with the nontrivial momentum and shows the equivalence of nontrivial solutions between the quasilinear and the semilinear equations. Firstly, for the subcritical parameters $4ω&gt;c^2$ and the critical parameters $4ω=c^2, c&gt;0$, we show the existence and uniqueness of the solitary waves for (DNLS), up to the phase rotation and spatial translation symmetries. Secondly, for the critical parameters $4ω=c^2, c\leq 0$ and the supercritical parameters $4ω0$ or $4ω&gt;c^2$. On one hand, different with the scattering result for the $L^2$-critical NLS in \cite{Dod:NLS_sct}, the scattering result of (DNLS) doesn't hold for initial data in $\mathcal{K}^+_{ω,c}$ because of the existence of infinity many small solitary/traveling waves in $\mathcal{K}^+_{ω,c},$ with $4ω=c^2, c&gt;0$ or $4ω&gt;c^2$. On the other hand, our global result improves the global result in \cite{Wu-DNLS, Wu-DNLS2} (see Corollary ef{cor:gwp}).

연구 동기 및 목표

• 갈릴레이 불변성이 없는 상황에서 파생 비선형 슈뢰딩거 방정식(DNLS)에 대한 고립파 해를 특성화하기 위해.
• 비자명한 고립파가 존재하거나 존재하지 않는 매개변수 영역을 규명하기 위해.
• 변분 및 에너지 방법을 사용하여 초기 데이터가 불변 집합 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$에 속할 경우 전역 존재성을 확립하기 위해.
• H^1(\mathbb{R})에서 기존의 전역 적으로 잘 정의된 성질 결과를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 운동량과 대칭성 고려를 통해 준선형 및 반선형 형태 간의 관계를 규명하기 위해 DNLS 방정식의 구조 분석을 수행한다.
• 질량과 운동량에 의해 제약된 에너지 함수에 변분적 접근을 적용하여 고립파 프로파일을 식별한다.
• 에너지 및 운동량 부등식을 바탕으로 불변 집합 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 및 $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$를 정의하여 해의 행동을 통제한다.
• 질량, 운동량, 에너지의 보존 법칙을 이용하여 시간에 따라 $\dot{H}^1$-노름에 대한 균일한 유계성을 증명한다.
• 연속성 및 닫힘 원리를 활용하여 $\Omega_{\omega,c}^{+} = I$임을 보이며, 이는 전역 존재성을 의미한다.
• 국소 적으로 잘 정의된 성질 이론과 $K_{\omega,c}$ 함수의 균일한 유계성을 기반으로 해를 전역적으로 연장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DNLS 방정식이 비자명한 고립파 해를 가질 수 있는 매개변수 조건은 무엇인가?
• RQ2 갈릴레이 불변성이 없을 경우 DNLS에서 고립파의 구조 및 분류에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 무한히 많은 작은 고립파/이동파가 존재하는 상황에서도 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$에 속한 초기 데이터에 대해 전역 적으로 잘 정의된 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 갈릴레이 불변성이 깨졌을 때 운동량이 고립파의 변분적 특성화에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 및 $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$ 불변 집합이 DNLS 해의 장기적 역학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• $4\omega > c^2$ 또는 $4\omega = c^2, c > 0$일 경우 위상 회전과 공간 이동에 대해 유일한 고립파 해가 존재한다.
• $4\omega = c^2, c \leq 0$ 또는 $4\omega < c^2$일 경우 비자명한 고립파 해는 존재하지 않는다.
• $4\omega = c^2, c > 0$ 또는 $4\omega > c^2$일 경우 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$는 DNLS 흐름에 대해 불변이므로 해의 전역 존재를 보장한다.
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 내의 해에 대해 $\dot{H}^1$-노름은 시간에 대해 균일하게 유계이며, 국소 적으로 잘 정의된 성질에 의해 전역 존재를 의미한다.
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$에서 DNLS의 산산이 흩어지는 결과는 성립하지 않으며, 이는 무한히 많은 작은 고립파/이동파 존재 때문이기 때문이다.
• 전역 적으로 잘 정의된 성질 결과는 [34, 35]의 이전 작업을 향상시키며, 더 넓은 범위의 초기 데이터에 대해 확장된다.