[논문 리뷰] Soliton solutions of an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation through inverse scattering transform

Jia-Liang Ji, Zuo-Nong Zhu|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 13.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 역산성 변환(IST)을 사용하여 비국소적 비선형 콘도우이-데브리스(mKdV) 방정식의 정확한 솔리톤 및 브리더 해를 제시한다. 비국소적 PT 대칭 감소 조건 하에서 기존의 고전적 mKdV 해와는 다름없는 새로운 성질을 지닌 일중 솔리톤, 이중 솔리톤 및 브리더 해를 유도하며, 이는 지수적 진폭 증가 또는 감소와 위상 이동을 포함한다.

ABSTRACT

It is well known that the nonlinear Schrödinger (NLS) equation is a very important integrable equation. Ablowitz and Musslimani introduced and investigated an integrable nonlocal NLS equation through inverse scattering transform. Very recently, we proposed an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation (mKdV) which can also be found in a paper of Ablowitz and Musslimani. We have constructed the Darboux transformation and soliton solutions for the nonlocal mKdV equation. In this paper, we will investigate further the nonlocal mKdV equation. We will give its exact solutions including soliton and breather through inverse scattering transformation. These solutions have some new properties, which are different from the ones of the mKdV equation.

연구 동기 및 목표

• 다르부 변환에 기반한 이전 연구를 확장하여 비국소적 mKdV 방정식을 역산성 변환(IST)을 통해 연구하기 위해.
• 비국소적 PT 대칭 조건을 가진 비국소적 mKdV 방정식에 대해 정확한 해, 즉 솔리톤과 브리더를 도출하기 위해.
• 해의 장기적 행동 및 특이점 구조를 분석하여 고전적 mKdV 방정식과의 차이를 부각하기 위해.
• 비국소적 mKdV 방정식이 고전적 경우와 달리 지수적 진폭 증가 또는 감소를 갖는 솔리톤 해를 지닌다는 것을 보여주기 위해.
• Wronskian 항등식과 스펙트럼 데이터 관계를 유도함으로써 IST를 통한 해의 체계적 구성 제공하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 매개변수 $k$를 포함하는 $2\times2$ 행렬 시스템을 사용하여 비국소적 mKdV 방정식의 라크스 쌍을 구성하며, $\sigma_3$, $\mathbf{Q}$ 및 보조 행렬 $\mathbf{V}_1$, $\mathbf{V}_2$ 를 포함한다.
• Jost 해 $\phi$, $\bar{\phi}$, $\psi$, $\bar{\psi}$ 를 정의하여 역산성 변환을 적용하며, $x \to \pm\infty$ 에서 특정 점근적 행동을 갖는다.
• Wronskian 관계와 스펙트럼 대칭을 통해 산란 데이터를 유도하며, $a(k)$, $b(k)$ 및 그 복소수 켤레를 포함한다.
• 잠재력 $q(x,t)$ 를 산란 데이터로부터 재구성하기 위해 게르파인-레비탄-마르첸코 적분 방정식을 구성한다.
• 비국소적 감소 조건 $r(x,t) = -q(-x,-t)$ 를 도입하여 라크스 쌍 시스템으로부터 비국소적 mKdV 방정식을 복원한다.
• 역문제를 해결하여 일중 솔리톤, 이중 솔리톤 및 브리더 해를 $x$와 $t$의 지수함수 및 쌍곡선/삼각함수 형태로 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 mKdV 방정식의 솔리톤 해는 고전적 mKdV 방정식의 해와 어떻게 행동이 다를까?
• RQ2 비국소적 PT 대칭 감소 조건 하에서 솔리톤 해의 장기적 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 비국소적 mKdV 방정식의 해에 특이점이 나타나는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비국소적 mKdV 방정식에 대해 브리더 해를 구성할 수 있으며, 그들의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 비국소적 감소 조건을 가진 비국소적 적분 가능 시스템에 대해 역산성 변환은 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 일중 솔리톤 해는 $\alpha - \beta$ 의 부호에 따라 지수적 진폭 감쇠 또는 증가를 보이며, $\alpha < \beta$ 일 경우 감쇠되고 $\alpha > \beta$ 일 경우 증가한다.
• 빛의-빛의 이중 솔리톤 해에서는 비대칭적인 진폭 진화가 나타나며, 매개변수 $\alpha_j$, $\beta_j$ 에 따라 한 솔리톤은 지수적으로 증가하고 다른 하나는 감쇠될 수 있다.
• 빛의-어둠의 솔리톤 케이스에서는 두 솔리톤 모두 지수적 증가 또는 감소를 보이며, 상호작용 시 위상 이동이 발생하지만 속도 변화는 없다.
• 브리더 해는 특정 대칭 조건에서만 존재한다: $k_1 = -k_2^*$ 및 $\bar{k}_1 = -\bar{k}_2^*$, 특수한 경우 $\eta_1 = \eta_2 = \zeta_1 = \zeta_2 = \mu$ 일 때는 주기적이고 국소화된 브리더가 생성된다.
• 브리더 해는 명시적으로 $q(x,t) = 4\mu \frac{\sinh(\xi_+ among \sin(\xi_-) - \cosh(\xi_+)\cos(\xi_-)}{\cosh^2(\xi_+) + \sin^2(\xi_-)}$ 로 주어지며, $\xi_\pm = -2\mu(x \pm 8\mu^2 t)$ 를 통해 공간과 시간에서 주기적 진동을 보인다.
• 브리더 케이스에서 $\eta_1 \neq \eta_2$ 또는 $\zeta_1 \neq \zeta_2$ 일 경우 해는 특이점이 생기지만, 대칭적 매개변수 선택에서는 여전히 정상적이다.