[논문 리뷰] Solitonic symmetry as non-invertible symmetry: cohomology theories with TQFT coefficients

Shi Chen, Yuya Tanizaki|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 03.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 12

한 줄 요약

논문은 솔리톤 대칭을 경로 적분 대상 공간 Y에 결합된 보조 TQFT들의 분할 함수의 비가역 일반화 대칭으로 재정의하고, TQFT 계수를 갖는 솔리톤 코호모지 이론을 형성한다.

ABSTRACT

Originating from the topology of the path-integral target space $Y$, solitonic symmetry describes the conservation law of topological solitons and the selection rule of defect operators. As Ref.~\cite{Chen:2022cyw} exemplifies, the conventional treatment of solitonic symmetry as an invertible symmetry based on homotopy groups is inappropriate. In this paper, we develop a systematic framework to treat solitonic symmetries as non-invertible generalized symmetries. We propose that the non-invertible solitonic symmetries are generated by the partition functions of auxiliary topological quantum field theories (TQFTs) coupled with the target space $Y$. We then understand solitonic symmetries as non-invertible cohomology theories on $Y$ with TQFT coefficients. This perspective enables us to identify the invertible solitonic subsymmetries and also clarifies the topological origin of the non-invertibility in solitonic symmetry. We finally discuss how solitonic symmetry relies on and goes beyond the conventional wisdom of homotopy groups. This paper is aimed at a tentative general framework for solitonic symmetry, serving as a starting point for future developments.

연구 동기 및 목표

• 경로 동역학 묘사에 대한 동형군 설명을 넘어서는 솔리톤 대칭의 새로운 기초를 제시한다.
• 솔리톤 대칭이 대상 공간 Y에 결합된 보조 완전 확장형 TQFT의 분할 함수에 의해 생성된다고 제안한다.
• 솔리톤 대칭의 대수적 구조와 그것이 가환 가능한 서브대칭과의 관계를 명확히 한다.
• 솔리톤 대칭이 기존의 동형 기반 분류를 넘어서는 방식을 설명한다.

제안 방법

• 솔리톤 대칭을 대상 공간 Y에 의존하는 토폴로지적 함수에 의해 생성되는 대칭으로 정의한다.
• 지역성은 토폴로지적 함수가 보조 완전 확장형 TQFT의 분할 함수에서 발생하도록 강제한다고 주장한다(TQFT 계수).
• 결과적으로 대칭 융-고차 카테고리 Rep•(Y) 및 sRep•(Y)를 대수적 프레임워크로 기술한다.
• 가역적 서브대칭이 일반적인 TQFT 계수를 가진 코호모지 이론과 어떤 관계가 있는지 설명한다.
• 비가역성은 Rep•(Y)를 응축(condensation) 및 구(sphere) 기반 토폴로지 데이터로 분해함으로써 어떻게 나타나는지 논의한다.
• 토폴로지적 함수의 구성에 관한 일관성(coherence)과 지역성 원리를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동형군 설명을 넘어서는 솔리톤 대칭의 적절한 기초는 무엇인가?
• RQ2 지역성 및 일관성을 만족하면서 솔리톤 대칭을 생성하도록 토폴로지적 함수를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 고차 차원에서 솔리톤 대칭을 지배하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 가역 및 비가역 솔리톤 서브대칭이 TQFT 계수를 갖는 전통적 코호모지 이론과 어떤 관계에 있는가?
• RQ5 솔리톤 대칭이 동형론적 이론을 넘어 비가역적 융 데이터까지 어떻게 인코딩하는가?

주요 결과

• 솔리톤 대칭은 대상 공간 Y에 결합된 보조 완전 확장형 TQFT의 분할 함수에 의해 자연스럽게 생성된다.
• 토폴로지적 함수는 교환 가능하고 비가역적인 융 구조를 형성하며, 이는 대칭 융 고차 카테고리 Rep•(Y) 및 sRep•(Y)로 포착된다.
• 솔리톤 대칭은 Y에 대한 가역 가능한 코호모지 이론의 일반화로서 TQFT 계수를 갖는 비가역 코호모지 이론으로 볼 수 있다.
• 가역적 솔리톤 서브대칭은 정통 코호모지 이론에서 비롯되며, 비가역성은 Y의 토폴로지적 데이터와 구의 비평이와 관련이 있다.
• 구조는 솔리톤 결함이 운반하는 전하를 구별하고, 지역성이 일반화된 방향으로 허용 가능한 함수들을 제약한다는 점을 보여준다.