[논문 리뷰] Solitonic symmetry beyond homotopy: Invertibility from bordism and noninvertibility from topological quantum field theory

Shi Chen, Yuya Tanizaki|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 25.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 4차원 $\mathbb{C}P^1$ 모델에서의 호프 전류 $U(1)$ 대칭이 본질적인 것이 아니며, 3차원 스핀 토폴로지적 양자장이론(TQFT)에 의해 생성된 비가역 대칭임을 드러낸다. 호모토피 이론은 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$로부터 $U(1)$ 대칭을 예측하지만, 실제 대칭은 스핀 bordism에 의해 분류되는 가역 $\mathbb{Z}_2$ 부분을 지닌 비가역적인 구조이며, 전체 대칭은 하위 차원의 토폴로지 오더와의 결합을 지배한다.

ABSTRACT

Solitonic symmetry has been believed to follow the homotopy-group classification of topological solitons. Here, we point out a more sophisticated algebraic structure when solitons of different dimensions coexist in the spectrum. We uncover this phenomenon in a concrete quantum field theory, the $4$d $\mathbb{C}P^1$ model. This model has two kinds of solitonic excitations, vortices and hopfions, which would follow two $U(1)$ solitonic symmetries according to homotopy groups. Nevertheless, we demonstrate the nonexistence of the hopfion $U(1)$ symmetry by evaluating the hopfion charge of vortex operators. We clarify that what conserves hopfion numbers is a non-invertible symmetry generated by 3d spin topological quantum field theories (TQFTs). Its invertible part is just $\mathbb{Z}_2$, which we recognize as a spin bordism invariant. Compared with the 3d $\mathbb{C}P^1$ model, our work suggests a unified description of solitonic symmetries and couplings to topological phases.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 이론이 예측한 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$에 기반한 $U(1)$ 호프 전류 대칭이 일반적인 대칭으로 존재하지 않는 이유를 해결하는 것.
• 바이러스(바이러스는 $\pi_2(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$에서 유래)의 존재가 호프 전류 전하의 보존을 어떻게 손상시키고, 나이브한 $U(1)$ 호프 전류 대칭을 무효화하는지 조사하는 것.
• 고차원에서의 솔리톤 대칭과 저차원에서의 토폴로지 오더 결합을 연결하는 통합 프레임워크를 수립하는 것.
• 진정한 호프 전류 대칭이 비가역적이며, 3차원 스핀 TQFT에 의해 생성되며, 그 가역 부분이 스핀 보르드 이론 불변량에 의해 분류됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 바이러스 연산자의 호프 전류 전하를 분석하여, $U(1)$ 호프 전류 대칭이 이론의 동역학과 일관되지 않음을 보여주는 것.
• 스핀 보르드 이론 불변량을 사용하여 호프 전류 대칭의 가역 부분을 분류하고, $\mathbb{Z}_2$ 가 정확한 가역 대칭임을 규명하는 것.
• 3차원 TQFT $\mathcal{A}^{N,p}$ 에서 유도된 대칭 연산자 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$ 를 구성하여, 4차원 $\mathbb{C}P^1$ 모델에서 비가역 대칭 생성자로 작용하는 것.
• 대칭 연산자와 그 형식적 역원의 융합이 항등원이 아니라 응축 연산자 $\mathcal{C}(M_3)$ 를 만든다는 것을 보여주어 비가역성을 증명하는 것.
• 4차원 모델을 3차원 시공간으로 축소하여 호프 전류가 순간자로 변환되며, 전체 대칭이 $\mathcal{A}^{N,p}$ 를 통해 토폴로지 오더와의 결합을 나타냄을 보여주는 것.
• TQFT를 대칭 연산자로 사용하여 $d$ 차원에서의 솔리톤 대칭과 $d-1$ 차원에서의 토폴로지 오더 결합 간의 dual을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 에 의해 예측된 $U(1)$ 호프 전류 대칭이 $\mathbb{C}P^1$ 모델에 존재하지 않는가?
• RQ2 바이러스(에서 유래, $\pi_2(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$)는 호프 전류 전하의 보존을 어떻게 영향을 주며, 나이브한 $U(1)$ 대칭을 어떻게 무효화하는가?
• RQ3 고차원 솔리톤이 존재할 경우, 호프 전류 대칭의 진정한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 어떻게 토폴로지 양자장이론(TQFT)을 사용하여 전체 호프 전류 대칭을 묘사할 수 있으며, 이는 대칭의 가역성에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 고차원에서의 솔리톤 대칭과 저차원에서의 토폴로지 오더 결합을 공통 프레임워크를 통해 통합할 수 있는가?

주요 결과

• $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 에 의해 예측된 $U(1)$ 호프 전류 대칭은 바이러스 연산자에 의한 호프 전류 전하의 비보존로 인해 존재하지 않는다.
• 호프 전류 대칭의 가역 부분은 호모토피 군이 아니라 스핀 보르드 이론 불변량 $\widetilde{\Omega}_4^{\mathrm{spin}}(\mathbb{C}P^1)$ 에 의해 분류되는 $\mathbb{Z}_2$ 이다.
• 완전한 호프 전류 대칭은 비가역적이며, 3차원 스핀 TQFT $\mathcal{A}^{N,p}$ 에 의해 생성되며, 이에 대응하는 대칭 연산자 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$ 가 4차원 모델에 작용한다.
• $\mathcal{H}_{\frac{\pi}{N}}(M_3)$ 와 그 형식적 역원 $\mathcal{H}_{2\pi - \frac{\pi}{N}}(M_3)$ 의 융합은 항등원이 아니라 응축 연산자 $\mathcal{C}(M_3)$ 를 만든다. 이는 비가역성을 증명한다.
• 3차원 시공간에서 대칭 연산자 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$ 는 $\mathcal{A}^{N,p}$ 를 통해 $\mathbb{C}P^1$ 모델과의 모든 가능한 토폴로지 오더 결합을 분류한다.
• 통합 프레임워크는 $d$ 차원에서의 솔리톤 대칭을 $d-1$ 차원에서의 토폴로지 위상과 연관지으며, 가역 대칭은 가역 위상에 대응하고, 비가역 대칭은 토폴로지 오더에 대응한다.