[논문 리뷰] Solution of a Nonlinear Integral Equation via New Fixed Point Iteration Process

Chanchal Garodia, Izhar Uddin|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 비압축 사상의 고정점을 근사하기 위한 새로운 3단계 고정점 반복 과정을 제안한다. 새로운 방법이 강수렴성을 보이며, 이론적 분석과 수치 예제를 통해 기존 방법들인 피카르, 맨, 이시카와, 누어, 아그라왈 등, 아바스와 나지르, 타쿠르 등과 비교해 더 빠르게 수렴하는 것으로 입증한다. 본 방법은 수렴 보장이 보장된 혼합형 볼테라-프레드홀름 비선형 적분방정식을 해결하는 데에도 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new three-step iteration process in Banach space and prove convergence results for approximating fixed points for nonexpansive mappings. Also, we show that the newly introduced iteration process converges faster than a number of existing iteration processes. Further, we discuss about the solution of mixed type Volterra-Fredholm functional nonlinear integral equation.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 비압축 사상에 대한 새로운 3단계 고정점 반복 과정을 개발하기 위해.
• 제안된 반복 과정이 고정점으로의 강수렴성을 확립하기 위해.
• 새로운 반복 과정의 수렴 속도를 기존 반복 방법들과 비교하기 위해.
• 새로운 반복 과정을 혼합형 볼테라-프레드홀름 함수 비선형 적분방정식을 해결하는 데 적용하기 위해.
• 새로운 방법의 더 빠른 수렴성을 뒷받침하는 수치적 증거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 제안된 반복은 다음과 같이 정의된다: $ a_n = S c_n $, $ b_n = (1 - \delta_n) a_n + \delta_n S a_n $, $ c_{n+1} = S b_n $, 여기서 $ \delta_n \in (0,1) $.
• 수렴 분석은 옵아일 조건을 만족하는 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 수행된다.
• 수렴 속도의 이론적 비교는 베르린데의 정의에 기반한다: 수열 $ \{r_n\} $ 이 수열 $ \{p_n\} $ 보다 더 빠르게 수렴한다. 즉, $ \lim_{n\to\infty} \|r_n - r\| / \|p_n - p\| = 0 $ 이면.
• 비선형 적분방정식에 대한 적용은 함수에서 함수로 사상하는 연산자 $ A $ 를 정의하여 수행된다.
• 핵함수 $ K $ 와 $ H $, 그리고 함수 $ F $ 에 대한 리프시츠 조건을 만족할 경우, 연산자 $ A $ 가 비압축임을 보였다.
• 수열 $ \{c_n\} $ 이 해 $ p $ 로 수렴하는 것은 재귀적 경계와 부등식 $ e^x \geq 1 - x $ (여기서 $ x \in [0,1] $) 를 사용하여 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 3단계 반복 과정은 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 비압축 사상의 고정점으로 강수렴하는가?
• RQ2 새로운 반복 과정의 수렴 속도는 피카르, 맨, 이시카와, 누어, 아그라왈 등, 아바스와 나지르, 타쿠르 등과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 새로운 반복 과정은 혼합형 볼테라-프레드홀름 비선형 적분방정식을 효과적으로 해결하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 이전에 빠른 것으로 여겨졌던 타쿠르 등의 반복보다도 새로운 방법의 수렴 속도가 더 빠른가?
• RQ5 이론적 주장인 더 빠른 수렴성을 지지하는 수치적 증거는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 반복 과정은 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 비압축 사상의 고정점으로 강수렴성을 보인다.
• 이론적 분석을 통해 새로운 반복 과정이 피카르, 맨, 이시카와, 누어, 아그라왈 등, 아바스와 나지르, 타쿠르 등과 비교해 더 빠르게 수렴하는 것으로 확인된다.
• 수치 예제를 통해 새로운 방법이 아그라왈 등, 아바스와 나지르, 노어, 타쿠르 등과 비교해 더 빠르게 수렴하는 것으로 나타났다.
• 혼합형 볼테라-프레드홀름 적분방정식의 해는 반복 수열 $ \{c_n\} $ 의 극한으로 얻어지며, $ \|c_n - p\| \to 0 $ (여기서 $ n \to \infty $) 이다.
• 수렴 속도는 $ \|c_{n+1} - p\| \leq \|c_0 - p\| \exp\left( - (1 - L) \sum_{k=0}^n \delta_k \right) $ 로 경계된다. 여기서 $ L = \alpha + (\beta L_K + \gamma L_H) \prod_{i=1}^m (h_i - g_i) $ 이다.
• 가정 $ \sum_{k=0}^\infty \delta_k = \infty $ 가 성립할 경우, 수열 $ \{c_n\} $ 는 해 $ p $ 로 강수렴한다.