[논문 리뷰] Solution of System of Linear Fractional Differential Equations with Modified derivative of Jumarie Type

Uttam Ghosh, Susmita Sarkar외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 30.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Jumarie 방식으로 수정된 Riemann-Liouville 도함수를 사용하여 선형 분수계 미분방정식 시스템을 분석적으로 해결하는 방법을 제시한다. 미타그-레플레르 함수와 일반화된 사인 및余현 함수를 활용함으로써, 정수계 미분방정식의 고전적 해법과 유사한 접근 방식을 취하여 효율적인 분석적 해법을 가능하게 하고, 여러 예시를 통해 그래픽적 검증도 수행한다.

ABSTRACT

Solution of fractional differential equations is an emerging area of present day research because such equations arise in various applied fields. In this paper we have developed analytical method to solve the system of fractional differential equations in-terms of Mittag-Leffler function and generalized Sine and Cosine functions, where the fractional derivative operator is of Jumarie type. The use of Jumarie type fractional derivative, which is modified Rieman-Liouvellie fractional derivative, eases the solution to such fractional order systems. The use of this type of Jumarie fractional derivative gives a conjugation with classical methods of solution of system of linear integer order differential equations, by usage of Mittag-Leffler and generalized trigonometric functions. The ease of this method and its conjugation to classical method to solve system of linear fractional differential equation is appealing to researchers in fractional dynamic systems. Here after developing the method, the algorithm is applied in physical system of fractional differential equation. The analytical results obtained are then graphically plotted for several examples for system of linear fractional differential equation.

연구 동기 및 목표

• Jumarie 유형의 분수계 도함수를 갖는 선형 분수계 미분방정식 시스템을 분석적으로 해결하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 특수 함수를 활용하여 분수계 시스템과 고전적 해법 간의 연결 고리를 구축하는 것.
• 해법을 물리계에 적용하고 그래픽적 분석을 통해 결과를 검증하는 것.
• 이 접근 방식이 분수계 동역학을 다룰 때의 단순성과 효율성을 입증하는 것.

제안 방법

• 고전적 해법 프레임워크와의 호환성을 확보하기 위해 Riemann-Liouville 도함수의 수정된 형태인 Jumarie 유형의 분수계 도함수를 사용한다.
• 정수계 시스템의 고전적 해법을 모방하기 위해 미타그-레플레르 함수와 일반화된 삼각함수(사인 및 코사인)를 사용하여 해를 구성한다.
• 이 특수 함수의 성질을 활용하여 분수계 미분방정식 시스템을 해를 구할 수 있는 대수적 형태로 변환한다.
• Laplace 변환과 그 역변환 기법을 Jumarie 도함수에 적응시켜 분석적 해를 유도한다.
• 물리계에 해법을 적용하고 다양한 분수계 수준에서의 해의 그래픽 플롯을 생성함으로써 방법을 검증한다.
• 알고리즘을 여러 예시에 구현하고 테스트하여 일관성과 정확성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jumarie 유형의 분수계 도함수를 어떻게 활용하여 선형 분수계 미분방정식의 해를 단순화할 수 있는가?
• RQ2 미타그-레플레르 함수와 일반화된 삼각함수의 사용이 고전적 해법과의 연결 고리를 얼마나 잘 실현하는가?
• RQ3 제안된 방법이 그래픽적 해석에 적합한 정확한 분석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 해법은 다양한 물리계와 분수계 수준에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 해법은 미타그-레플레르 함수와 일반화된 삼각함수를 사용하여 선형 분수계 미분방정식 시스템을 성공적으로 해결한다.
• Jumarie 유형의 도함수 사용으로 고전적 해법 기법과의 호환성이 확보되어 해석 가능성과 적용 용이성이 향상된다.
• 여러 예시에 대해 분석적 해의 그래픽 플롯을 생성하여 결과의 타당성과 안정성을 확인하였다.
• 해법은 다양한 분수계 수준과 시스템 구성에서 계산 효율성과 일관성을 보였다.
• 유도된 해는 정수계 극한에서 고전적 해로 수렴함을 보여주어 해법의 정확성을 검증하였다.