[논문 리뷰] Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, II: The Rogers-Ramanujan continued fraction

Patrick Morton|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 28.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$의 해가 $\varepsilon = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$일 때, 허수 정수환 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$에서의 특수한 아벨 확장 내에서 복소주기점에서의 로저스-라마누잔 연분수 $r(\tau)$의 값으로 나타남을 규명한다. 여기서 $-d \equiv \pm 1 \pmod{5}$이다. 이러한 값들은 고정된 5진 대수 함수의 순환점임을 보이며, 이는 체 이론과 모듈러 함수, $p$-진 동역학을 연결한다.

ABSTRACT

In this part we show that the diophantine equation $X^5+Y^5=\varepsilon^5(1-X^5Y^5)$, where $\varepsilon=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, has solutions in specific abelian extensions of quadratic fields $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ in which $-d \equiv \pm 1$ (mod $5$). The coordinates of these solutions are values of the Rogers-Ramanujan continued fraction $r(τ)$, and are shown to be periodic points of an algebraic function.

연구 동기 및 목표

• 5차 디오판틴 방정식 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$의 해와 고정된 5진 대수 함수의 순환점 사이의 대응관계를 확립하는 것.
• 이러한 해의 좌표들이 허수 정수환 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$에서의 사제류 및 환류체에서 복소주기점에서의 로저스-라마누잔 연분수 $r(\tau)$의 값임을 보여주는 것. 여기서 $-d \equiv \pm 1 \pmod{5}$이다.
• 이러한 $r(\tau)$ 값의 최소 다항식이 반복된 결과식의 인수로 나타나며, 이는 관련된 체 이론을 생성함을 보여주는 것.
• 5와 서로소인 판별식 $f$를 가진 환류체는 고정된 5진 대수 함수의 순환점으로 생성되고, 5로 나누어지는 판별식을 가진 환류체는 고정된 5진 대수 함수의 전순환점으로 생성됨을 검증하는 것.

제안 방법

• 논문은 $\mathcal{C}_5$ 곡선의 모듈러 매개변수화로써 $q = e^{2\pi i\tau}$일 때 $r(\tau) = q^{1/5}/(1 + q/(1 + q^2/(1 + \cdots)))$로 정의되는 로저스-라마누잔 연분수 $r(\tau)$를 사용한다.
• 순서 5의 점을 가진 태트 정규형 $E_5(b)$의 $j$-불변량을 주는 유리함수 $j_5(b) = \frac{(1 - 12b + 14b^2 + 12b^3 + b^4)^3}{b^5(1 - 11b - b^2)}$를 구성하며, 이는 $b$와 $r(\tau)$ 값 사이의 연결을 제공한다.
• 판별식 $-d$에 대한 환류체 다항식 $H_{-d}$를 사용하여 $F_d(x) = x^{5h(-d)}(1 - 11x - x^2)^{h(-d)}H_{-d}(j_5(x))$를 정의하며, 이 다항식의 근은 $\mathcal{R}_{-d}$에 대해 복소주기적을 갖는 $b$-값에 대응한다.
• $F_d(x^5)$의 차수 $4h(-d)$인 기약 인수 $p_d(x)$의 근은 $w \in \mathcal{O}_K$이고 $\wp_5^2 \mid w$일 때 $r(w/5)$와 $r(-1/w)$의 공액 값임을 보여준다.
• 5진 대수 함수 $F(z) = \frac{-1 + \sqrt{1 - z^4}}{z^2}$를 5진 유사체로 일반화하며, 이 함수의 순환점이 사제류체 및 환류체를 생성함을 보여준다.
• 반복된 결과식 $\tilde{R}_n(x)$을 사용하여 $r(w/5)$의 최소 다항식을 계산하고, $\eta \mapsto \eta - 1/\eta$의 변환을 통해 $t_d(x)$와 $u_d(x)$를 이용해 차수를 감소시켜 판별식 분석을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 5차 디오판틴 방정식 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$의 해는 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$의 아벨 확장 내에서 복소주기점에서의 로저스-라마누잔 연분수 $r(\tau)$ 값으로 매개변수화될 수 있는가?
• RQ2 이 해의 좌표들은 고정된 5진 대수 함수의 순환점인가? 그리고 이들은 해당 사제류체 및 환류체를 생성하는가?
• RQ3 $K$의 정수환 내의 $w$에 대해 $r(w/5)$의 최소 다항식의 구조는 무엇이며, 반복된 결과식과 체 이론과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 모듈러 군 $\Gamma(5)$와 헤크 연산자 $\tau_5$의 작용은 $r(w/5)$ 값의 순환성과 갈루아 구조에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 최소 다항식 $p_d(x)$의 판별식과 인수분해를 통해 체 생성과 관련된 추측(모든 이러한 체 이론이 단일 5진 함수의 순환점으로부터 유도됨)을 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $d \equiv \pm 1 \pmod{5}$에 대해, $X = r(w/5)$, $Y = r(-1/w)$는 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 위의 아벨 확장 $\Sigma_5\Omega_f$ 또는 $\Sigma_5\Omega_{5f}$에서 방정식 $\mathcal{C}_5$의 해를 이룬다. 여기서 $d = 4f^2$에 따라 달라진다.
• 차수 36인 $r\left(\frac{3 + \sqrt{-491}}{10}\right)$의 최소 다항식 $p_{491}(x)$는 $\tilde{R}_3(x)$의 기약 인수로 계산되었으며, 판별식 $D = 2^{316}5^{153}7^{16}19^4 23^8 29^{16}191^8 491^{18}$을 가진다.
• 차수 9인 축소된 다항식 $u_{491}(x)$는 판별식 $D_1 = 2^{76}7^2 29^4 191^2 491^4$를 가지며, 이는 $h(-d) = 9$이고 $d = 4f^2$이며 $f = 2^a$인 경우에만 가능한 판별식 $d = 491$임을 확인한다. 또한 $d = 491$은 2 또는 29로 나누어지지 않는다.
• 값 $\eta = r\left(\frac{3 + \sqrt{-491}}{10}\right)$는 최소 다항식 $p_{491}(x)$의 근이며, 최소 60자리 소수까지 정확하게 확인되었다. 이는 구성의 수치 정확성을 뒷받침한다.
• $\tau_5$의 갈루아 군 작용은 $r(w/5)$에 대해 순서 6이며, $\tau_5^3 = \rho$가 순서 2이므로 일致한다. 또한 $\mathfrak{g}(z)$에 의한 근의 주기 또한 6이다.
• $p_d(x)$는 변환 $U(z) = -1/z$에 의해 안정화되며, 이에 따라 $p_d(x) = x^{2h(-d)} t_d(x - 1/x)$로 줄일 수 있다. 추가로 $t_d(x - 1) = x^{h(-d)} u_d(x + 5/x)$로 표현되며, 이는 판별식이 더 작은 차수 $h(-d)$의 다항식 $u_d(x)$를 생성한다.