[논문 리뷰] Solutions of Linear Fractional non-Homogeneous Differential Equations with Jumarie Fractional Derivative and Evaluation of Particular Integrals

Uttam Ghosh, Susmita Sarkar외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 17.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 주어진 Jumarie의 수정된 Riemann-Liouville 분수미분의 도함수를 사용하여 선형 비동차 분수미분방정식(FDEs)을 해결하는 새로운 방법을 제시한다. 동차 FDEs에 대한 이전 연구를 확장함으로써, 다항식, 지수함수, 삼각함수 항과 같은 다양한 강제함수에 대해 Mittag-Leffler 함수와 분수미분 삼각함수를 사용하여 특수적 적분을 계산하는 단순화된 규칙를 개발한다. 주요 기여는 분수미분학과 고전적 방법 간의 공액(conjugation)을 수립함으로써, 특수함수의 형태로 닫힌 형태의 결과를 얻을 수 있는 분수강제 진동자의 체계적인 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we describe a method to solve the linear non-homogeneous fractional differential equations (FDE), composed with Jumarie type Fractional Derivative, and describe this method developed by us, to find out Particular Integrals, for several types of forcing functions. The solutions are obtained in terms of Mittag-Leffler functions, fractional sine and cosine functions. We have used our earlier developed method of finding solution to homogeneous FDE composed via Jumarie fractional derivative, and extended this to non-homogeneous FDE. We have demonstrated these developed methods with few examples of FDE, and also applied in fractional damped forced differential equation. This method proposed by us is useful as it is having conjugation with the classical methods of solving non-homogeneous linear differential equations, and also useful in understanding physical systems described by FDE.

연구 동기 및 목표

• Jumarie 유형의 분수미분 도함수를 갖는 선형 비동차 분수미분방정식(FDEs)을 체계적으로 해결하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 이전에 제안한 동차 FDEs 해법을 비동차 경우로 확장하기 위해 특수적 적분을 계산하는 규칙를 도입하는 것.
• 비동차 미분방정식을 해결하기 위해 분수미분학과 고전적 방법 간의 공액을 수립하는 것.
• 특히 분수감쇠 및 강제 진동자 모델링에서 이 방법의 유용성을 입증하는 것.
• 다양한 강제함수에 대해 Mittag-Leffler 함수와 분수삼각함수의 형태로 명시적인 해를 제공하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 상수의 도함수가 0이 되도록 보장하는 Jumarie의 왼쪽 방향 수정된 Riemann-Liouville 분수미분 도함수를 사용한다. 이는 물리적 일관성을 향상시킨다.
• 특수적 적분은 고전적 미적분과 유사한 연산자 규칙을 사용하여 계산한다: D^α를 (1/D^α)로 치환하고 역연산자에 대한 대수적 변환을 적용한다.
• 다항식 강제함수의 경우, (1 - D^α)^{-1}의 급수 전개를 사용하여 일반화된 이항계수를 포함하는 해를 유도한다.
• 지수함수 및 삼각함수 강제항의 경우, D^α를 -ia로 치환하는 치환 규칙을 적용하여 특수적 적분을 직접 평가한다.
• 해는 Mittag-Leffler 함수 E_α(λt^α), 분수미분 sine 및 cosine 함수의 형태로 표현되어 분석적 취급이 가능하다.
• 이 방법은 세 가지 예제를 통해 검증된다: 2차 비동차 FDE, 강제되지 않은 비감쇠 진동자, 감쇠된 강제 진동자로, 모두 닫힌 형태의 표현식으로 해를 구하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jumarie 분수미분 도함수를 갖는 비동차 선형 FDEs에 대해 특수적 적분을 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 동차 FDEs의 해법을 비동차 경우로 확장할 수 있으며, 고전적 방법과의 공액이 가능할까?
• RQ3 다항식, 지수함수, 삼각함수 강제함수를 갖는 분수강제 진동자의 닫힌 형태 해는 무엇인가?
• RQ4 Mittag-Leffler 함수와 분수삼각함수는 비동차 FDEs의 해에 어떻게 자연스럽게 나타나는가?
• RQ5 기본적인 Riemann-Liouville 또는 Caputo 도함수에 비해 Jumarie 도함수가 해의 물리적 해석 가능성에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 이 방법은 연산자 대수를 사용하여 비동차 FDEs의 특수적 적분을 성공적으로 계산하며, 그 결과는 Mittag-Leffler 함수와 분수삼각함수의 형태로 표현된다.
• D^2α y + D^α y + 6y = t^5 방정식의 경우, 특수적 적분은 감마함수와 t^α의 거듭제곱을 포함하는 급수 형태로 유도되며, 계수로 1/Γ(5/3 + 1), 1/Γ(6/3 + 1), 등이 포함된다.
• 강제되지 않은 비감쇠 진동자 D^2α y + ω^2 y = F cos(at)의 경우, 특수적 적분은 y_p = -F/(a^2 - ω^2) cos(at)로 유도되며, D^α를 -ia로 치환함으로써 고전적 해와 직접적인 유사성을 보인다.
• 감쇠된 강제 진동자 D^2α y + c D^α y + c^2 y = F cos(at)의 경우, 특수적 적분은 y_p = F [ (a^2 - c^2) cos(at) + 2ca sin(at) ] / [ (a^2 - c^2)^2 + 4c^2 a^2 ]^{1/2} 형태로 분수함수의 형태로 표현되며, 고전적 공진 행동과의 공액을 보여준다.
• 감쇠된 경우의 일반해는 동차해 E_α(-ct) [A cos(ωt^α) + B sin(ωt^α)]와 유도된 특수적 적분을 조합하여 구성되며, 물리적 기대와 일치함을 확인한다.
• 저자들은 Jumarie 도함수를 사용할 경우 고전적 해법 기법이 분수차수 시스템으로 자연스럽게 확장될 수 있으며, 고전적 방법의 구조를 유지하면서도 분수역학을 통합할 수 있음을 입증한다.