[논문 리뷰] Solutions of local and nonlocal equations reduced from the AKNS hierarchy

Kui Chen, Xiao Deng외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 28.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 35인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 AKNS 계열에서 유도된 국소 및 비국소 방정식에 대해 정확한 이중 와이크스키안 해를 유도하기 위한 체계적인 축소 기법을 제시한다. 이는 비국소 NLS, KdV, mKdV 및 사인-고르돈 방정식의 비국소 형태를 포함한다. 와이크스키안 벡터에 제약 조건을 부과함으로써, 원래 AKNS 시스템의 알려진 해로부터 비국소 방정식의 솔리톤 해를 생성하는 방법을 제시하며, 역시간 NLS 방정식에서 대칭적인 두 솔리톤 동역학을 명시적으로 보여주고, 점점 가까워지는 분석을 통해 솔리톤 행동을 확인한다.

ABSTRACT

In the paper possible local and nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Suger (AKNS) hierarchy are collected, including the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy, modified KdV hierarchy and their nonlocal versions, nonlinear Schrödinger hierarchy and their nonlocal versions, sine-Gordon equation in nonpotential form and its nonlocal forms. A reduction technique for solutions is employed, by which exact solutions in double Wronskian form are obtained for these reduced equations from those double Wronskian solutions of the AKNS hierarchy. As examples of dynamics we illustrate new interaction of two-soliton solutions of the reverse-$t$ nonlinear Schrödinger equation. Although as a single soliton it is always stationary, two solitons travel along completely symmetric trajectories in $\{x,t\}$ plane and their amplitudes are affected by phase parameters. Asymptotic analysis is given as demonstration. The approach and relation described in this paper are systematic and general and can be used to other nonlocal equations.

연구 동기 및 목표

• AKNS 계열에서 유도된 비국소 적분 가능 방정식의 정확한 해를 생성하기 위한 일반적이고 체계적인 방법을 개발하는 것.
• 역공간, 역시간, 역공간-시간 대칭을 포함한 비국소 축소에 대해 이중 와이크스키안 해 기법을 확장하는 것.
• 특히 비국소 NLS 방정식에서 대칭적인 두 솔리톤 상호작용을 포함한 다중 솔리톤 해의 동역학을 보여주는 것.
• 스펙트럼 매개변수 변환과 제약 조건 구조를 통해 국소 해와 비국소 해 사이의 명확한 대응 관계를 수립하는 것.
• 이 연구에서 다루지 않은 다른 비국소 방정식에도 적용 가능한 통합된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 이중 와이크스키안의 두 기본 벡터에 제약 조건을 도입하여 $ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $와 같은 비국소 관계를 강제함으로써, 비국소 방정식의 해를 만족시키는 것을 보장한다.
• 이 방법은 전체 AKNS 계열의 알려진 이중 와이크스키안 해를 활용하며, 적분 가능성과 해법을 유지하는 제약 조건을 적용한다.
• 사인-고르돈 방정식의 경우, 적절한 적분 연산자를 통해 음의 AKNS 계열의 이중형태를 변형함으로써 비국소 축소를 구현한다.
• 스펙트럼 매개변수의 제약 조건을 사용하여 축소 전후의 이산 스펙트럼 분포 간의 관계를 설정함으로써 체계적인 해 생성을 가능하게 한다.
• 점점 가까워지는 분석을 수행하여 솔리톤 행동을 검증하며, 특히 위상 매개변수에 의존하는 진폭 조절과 $\{x,t\}$ 평면 내 대칭 궤적을 포함한다.
• 스펙트럼 매개변수에 $k_j^* \to -k_j^*$를 치환하는 변환 기법을 도입함으로써, 초점 NLS 해에서 비국소 분산 NLS 해를 생성하는 실용적인 방법을 제공하며, 형식적 대칭성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AKNS 계열의 이중 와이크스키안 해는 어떻게 체계적으로 비국소 적분 가능 방정식의 정확한 해로 축소될 수 있는가?
• RQ2 와이크스키안 벡터에 어떤 제약 조건이 부여되어야 비국소 대칭, 예를 들어 $ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $를 만족하는 해가 유도되는가?
• RQ3 특히 위상 매개변수에 따른 진폭 의존성과 궤적 대칭성 측면에서, 역시간 비국소 NLS 방정식에서의 두 솔리톤 상호작용은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이와 같은 축소 프레임워크는 KdV, mKdV 및 사인-고르돈 방정식의 비국소 형태에 대해도 동일하게 적용 가능한가?
• RQ5 스펙트럼 매개변수 변환(예: $k_j^* \to -k_j^*$)은 국소 해와 비국소 해를 연결하는 데 어떤 역할을 하는가? 이는 문헌에 기록된 형식적 대칭성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 원래 AKNS 계열 해에 제약 조건을 적용함으로써 비국소 NLS, KdV, mKdV 및 사인-고르돈 방정식에 대해 정확한 이중 와이크스키안 해가 성공적으로 도출되었다.
• 역시간 NLS 방정식의 두 솔리톤 해는 $\{x,t\}$ 평면에서 완전히 대칭적인 궤적을 보이며, 개별 솔리톤이 정지해 있음에도 불구하고 위상 매개변수에 의해 진폭이 조절된다.
• 점점 가까워지는 분석을 통해 두 솔리톤 상호작용이 솔리톤 성질을 유지하는 것으로 확인되었으며, 궤적이 직선으로 수렴하고 기대되는 바와 같이 위상 이동이 발생한다.
• $k_j^*$에서 $-k_j^*$로의 스펙트럼 매개변수 변환은 초점 NLS 해에서 비국소 분산 NLS 해를 생성하는 실용적인 방법을 제공하며, 형식적 대칭성을 검증한다.
• 이 방법은 일반적이고 체계적이며, 본 논문에서 다룬 것 이외의 비국소 방정식에도 적용 가능하여 AKNS 계열에서 해를 구성하는 데 통합된 접근법을 제공한다.
• 사인-고르돈 방정식의 경우, 이중형태에서 적분 연산자를 통해 비국소 형태가 도출되었으며, 그 해는 표준 mKdV 방정식과 유사한 동역학을 보인다.