[논문 리뷰] Solutions of the Schrödinger equation, boundary condition at the origin, and theory of distributions

Y. C. Cantelaube|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 02.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구형 슈뢰딩거 방정식에서 u(0) = 0인 경계 조건을 재고하며, 분포의 관점에서 라플라스 연산자를 계산할 경우 이 조건이 정당하지 않음을 보여준다. u(r)를 기반으로 한 구형 방정식을 분포 이론을 적용하여 분석함으로써, 저자들은 표준 경계 조건이 분포 도함수의 오해에서 비롯되며, 정규화 가능한 해에 대해선 불필요하다는 것을 증명한다. 주요 기여는 감소된 슈뢰딩거 방정식 (9)이 u(0) = 0일 때에만 원래 슈뢰딩거 방정식과 동치이며, 그렇지 않으면 델타 함수를 포함하는 다른 방정식을 풀게 되어 경계 조건이 필요없음을 입증한다.

ABSTRACT

In a central potential the usual resolution of the Schrödinger equation in spherical coordinates consists in determining the solutions R(r) or u(r) of the radial equations considered as the radial parts of the Schrödinger equation. However, the solutions must be supplemented with the boundary condition u(0) = 0 in order to rule out singular solutions. There is still no consensus to justify this condition, with good reason. It is based on a misunderstanding that comes from the fact that the radial equation in terms of R(r) is derived from the Schrödinger equation, and the radial equation in terms of u(r) from the former, by taking the Laplacians in the sense of the functions. By taking these Laplacians in the sense of the distributions, as it is required, we show that the radial equations are derived from the Schrodinger equation when their solutions are regular, but not when they are singular, so that the equations need not be supplemented with any supplementary condition such as u(0) = 0.

연구 동기 및 목표

• 구형 파동함수에 대해 u(0) = 0인 경계 조건의 수학적 정당성에 대한 오랫동안 지속된 양자역학적 모호함을 해결하는 것.
• 파동함수의 라플라스 연산자에 대해 분포 이론을 엄밀히 적용함으로써 구형 슈뢰딩거 방정식의 수학적 기초를 명확히 하는 것.
• 표준 유도 과정이 분포 도함수를 점별 함수로 취급함으로써 잘못된 물리적 결론을 이끌어내는 방식임을 보여주는 것.
• u(0) ≠ 0인 해들이 원래 슈뢰딩거 방정식의 해가 아니며, 델타 함수를 포함하는 수정된 방정식을 만족함을 보여주어 u(0) = 0 조건이 불필요함을 입증하는 것.

제안 방법

• 파동함수 Ψ의 라플라스 연산자를 분포의 관점에서 계산하기 위해 R(r)와 u(r) = rR(r)를 기반으로 한 구형 슈뢰딩거 방정식을 분석한다.
• 특히 u(r) ∼ r^{−(ℓ+1)}인 경우에 대해 특이해를 다루기 위해 허위함수 이론(Pf)을 적용한다.
• 분포의 관점에서 Ψ의 라플라스 연산자를 계산함으로써 올바른 구형 방정식의 형태를 도출하며, 특이해가 추가적인 델타 함수 항을 유도함을 보여준다.
• 점별 도함수를 사용한 표준 유도와 분포 기반 유도를 비교함으로써, 후자가 분포 특이성을 고려하지 못함을 드러낸다.
• 분포 이론에서 Δ(1/r) = −4πδ(r)의 항등식을 사용하여 R(r) ∼ 1/r일 경우 해밀토니안에 델타 함수 기여항이 생기며, 이는 표준 구형 방정식을 무효화함을 보여준다.
• 감소된 슈뢰딩거 방정식 (9)가 u(0) = 0일 때에만 원래 슈뢰딩거 방정식과 동치이며, 그렇지 않으면 HΨ = EΨ + (ħ²√π/m)u(0)δ(r)를 만족함을 보여주며, 원래 방정식과는 다름을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 구형 슈뢰딩거 방정식에서 u(0) = 0 경계 조건이 일반적으로 도입되며, 이는 수학적으로 정당한가?
• RQ2 점별 도함수 대신 분포 이론을 사용할 경우, 구형 슈뢰딩거 방정식의 유도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 특이해를 고려할 때, R(r) 기반의 구형 방정식과 u(r) 기반의 방정식 사이의 올바른 관계는 무엇인가?
• RQ4 감소된 슈뢰딩거 방정식 (9)이 원래 슈뢰딩거 방정식과 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 왜 u(0) ≠ 0인 해들이 원래 슈뢰딩거 방정식을 만족하지 못하며, 실제로 어떤 방정식을 만족하는가?

주요 결과

• 정규화 가능한 해에 대해선 u(0) = 0 조건이 수학적으로 필수적이지 않으며, 이는 분포 이론의 오용에서 비롯된다.
• Ψ의 라플라스 연산자가 분포의 관점에서 계산될 경우, 슈뢰딩거 방정식 (3)에서 도출된 구형 방정식 (7)은 정규해에 대해서만 유효하며, 특이해에 대해서는 성립하지 않는다.
• u(0) ≠ 0인 해들은 수정된 방정식 HΨ = EΨ + (ħ²√π/m)u(0)δ(r)를 만족하며, 원래 슈뢰딩거 방정식을 만족하지는 않는다.
• u(r) 기반의 감소된 슈뢰딩거 방정식 (9)는 u(0) = 0일 때에만 원래 슈뢰딩거 방정식과 동치이며, 그렇지 않으면 델타 함수를 포함하는 다른 방정식에서 도출된다.
• 표준 구형 방정식 유도 과정은 분포 도함수를 점별 도함수로 취급함으로써, 특이 함수에 대해서는 실패하며 잘못된 경계 조건을 초래한다.
• 허위함수 Pf.r^{−(ℓ+1)}는 방정식 (31)의 해가 아니며, 분포 항 Q_{-(ℓ+1)}(δ)를 포함하는 수정된 방정식의 해이므로, 재수정된 공식화의 필요성을 보여준다.