[논문 리뷰] Solutions of the Schrödinger equation given by solutions of the Hamilton--Jacobi equation

G. F. Torres del Castillo, Citlalli Teresa Sosa-Sánchez|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 12.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 해밀턴-자비(Heimann-Jacobi, HJ) 방정식의 해로부터 유도한다. 이때 행동함수 $S$가 라플라스 방정식 $\nabla^2 S = 0$를 만족시키는 것을 요구한다. 만약 $S$가 HJ 방정식과 라플라스 방정식을 동시에 만족한다면, $\psi = \exp(iS/\hbar)$는 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해가 된다. 주요 기여는 알려진 조화 또는 선형 해를 가진 라플라스 방정식의 해로부터 정확한 양자 상태를 유도할 수 있는 체계적인 방법을 제시한 것이다.

ABSTRACT

We find the form of the potential depending on the coordinates and the time such that a solution, $S$, of the Hamilton--Jacobi equation yields an exact solution, $\exp ({ m i} S/\hbar)$, of the corresponding Schrödinger equation.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴-자비(HJ) 방정식의 해와 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해 사이에 직접적인 대응 관계를 수립하기 위해.
• HJ 방정식의 해 $S$가 동시에 라플라스 방정식 $\nabla^2 S = 0$를 만족시키는 잠재력 $V$의 범주를 규명하여, $\psi = \exp(iS/\hbar)$가 정확한 해가 되도록 보장하기 위해.
• 일차원, 이차원, 삼차원에서 이러한 잠재력과 그에 해당하는 정확한 양자 상태의 구체적 예를 구성하기 위해.
• 유도된 파동함수가 비정규화 가능하지만 완전한 집합을 이루며, 시간에 의존하는 보존되는 연산자의 고유함수임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 라플라스 방정식 $\nabla^2 S = 0$의 해 $S$로부터 출발하여, 자기장이 없는 경우 $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$로 잠재력 $V$를 정의한다.
• n차원에서의 라플라스 방정식의 일반해를 사용하여, $\psi = \exp(iS/\hbar)$가 슈뢰딩거 방정식을 정확히 만족시키는 잠재력의 가족을 생성한다.
• 일차원에서는 선형 해 $S(x,t) = \alpha(t)x + \beta(t)$를 사용하여 시간에 의존하는 균일한 잠재력의 가족을 유도한다.
• 이차원에서는 $S = \operatorname{Re}[f(z,t)]$가 라플라스 방정식을 만족하도록 하는 해석함수 $f(z,t)$를 활용하여, 천연 힘의 진동자나 $V \propto -1/r^2$와 같은 복잡한 잠재력을 도출한다.
• 낮은 차원의 해(예: 1차원 및 2차원)를 조합하여 3차원 잠재력을 구성한다. 예를 들어, 반발성 진동자와 선형 잠재력의 조합을 고려한다.
• 유도된 파동함수가 보존되는 연산자(예: $p - Ft$ 또는 $e^{\pm \omega t}(p_x \mp m\omega x)$)의 고유함수임을 확인하며, 고유값은 $S$에 포함된 임의의 매개변수와 대응된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴-자비(HJ) 방정식의 해 $S$가 언제 라플라스 방정식 $\nabla^2 S = 0$를 만족하여, $\psi = \exp(iS/\hbar)$가 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해가 되는가?
• RQ2 어떤 잠재력의 범주 $V(x,t)$가 조화 또는 선형 해를 가진 라플라스 방정식의 해로부터 유도된 정확한 양자 상태를 허용하는가?
• RQ3 이러한 방식으로 구성된 비정규화 가능한 파동함수들이 힐베르트 공간의 완전한 기저를 이룰 수 있는가?
• RQ4 라플라스 방정식의 $S$-해로부터 유도된 정확한 해와 관련된 보존되는 물리량은 무엇인가?
• RQ5 낮은 차원의 해를 조합하여 고차원에서의 해를 체계적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 라플라스 방정식 $\nabla^2 S = 0$의 임의의 해 $S$에 대해, 잠재력 $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$로 정의하면 파동함수 $\psi = \exp(iS/\hbar)$는 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해가 된다.
• 일차원에서 해 $S(x,t) = (Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}$는 시간에 의존하지 않는 균일한 힘 $V = -Fx$에 대해 정확한 해 $\psi(x,t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left[(Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}\right]\right)$를 유도한다.
• 시간에 의존하는 선형 잠재력 $V = -ktx$에 대해, 해 $S(x,t) = \left(\frac{kt^2}{2} + P\right)x - \frac{1}{2m}\left(\frac{k^2t^5}{20} + \frac{kPt^3}{3} + P^2t\right)$는 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해이며, 보존되는 연산자 $p - \frac{1}{2}kt^2$의 고유함수로서 고유값 $P$를 가진다.
• 이차원에서 해석함수 $f(z,t) = \frac{m\omega}{2}z^2 + (P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})z + \frac{1}{4m\omega}(P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})^2$는 반발성 조화진동자 잠재력 $V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2)$에 대한 해 $S$를 생성하며, $\psi$는 $e^{\omega t}(p_x - m\omega x)$ 및 $e^{-\omega t}(p_y + m\omega y)$의 고유함수이다.
• 중앙 잠재력 $V = -k/(x^2 + y^2)$에 대해, 해 $S = \sqrt{\frac{mk}{2}}\ln(x^2 + y^2)$는 시간에 의존하지 않는 HJ 및 라플라스 방정식의 해이며, 정확한 슈뢰딩거 해를 유도한다.
• 삼차원에서 1차원 선형 잠재력과 2차원 반발성 진동자 잠재력의 조합은 잠재력 $V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2) - Fz$를 유도하며, 이에 해당하는 정확한 해 $\psi = \exp(iS/\hbar)$는 세 개의 독립 매개변수 $P_1, P_2, P_3$에 의존한다.