[논문 리뷰] Solutions to homogeneous Monge-Ampère equations of homothetic functions and their applications to production models in economics

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 동차 미분방정식을 만족하는 동질생산함수를 분류하며, 그 그래프의 가우스-크로네커 곡률이 0이 되는 조건을 밝혀내고 있다. 이는 기저 동차함수가 미분방정식을 만족하거나 동질함수가 선형 동차일 때에 한하여 성립한다. 이러한 결과는 코브-더글라스 및 ACMS 생산모형과 같은 주요 경제생산모형에 적용되어, 유클리드 공간에서 그래프가 평평해지는 기하학적 조건을 규명한다.

ABSTRACT

Mathematically, a homothetic function is a function of the form $f({\bf x})=F(h(x_1,...,x_n))$, where $h$ is a homogeneous function of any degree $d e 0$ and $F$ is a monotonically increasing function. In economics homothetic functions are production functions whose marginal technical rate of substitution is homogeneous of degree zero. In this paper we classify homothetic functions satisfying the homogeneous Monge-Ampère equation. Several applications to production models in economics will also be given.

연구 동기 및 목표

• n차원 공간에서 동차 미분방정식을 만족하는 동질함수를 분류하는 것.
• 동질생산함수의 그래프가 0인 가우스-크로네커 곡률을 가지는 기하학적 조건을 규명하는 것.
• 분류 결과를 코브-더글라스 및 ACMS 함수를 포함한 고전적 경제생산모형에 적용하는 것.
• 생산함수 그래프의 곡률 성질과 그 경제적 해석 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 동질생산함수 그래프의 평탄성에 대한 필요 및 충분조건을 동차성과 함수의 복합 구조에 따라 수립하는 것.

제안 방법

• 논문은 동질함수의 2차 도함수의 헤시안 행렬식을 사용하여 동차 미분방정식을 분석한다.
• d ≠ 1인 d-동차함수에 대해 오일러 동차함수 정리를 적용하여 도함수 관계식을 유도한다.
• 크래머의 법칙과 여인수 전개를 사용하여 f = F(h)의 헤시안을 h의 헤시안과 연결하고, 2차 도함수의 연쇄법칙을 적용한다.
• f = F(h)의 헤시안 행렬의 구조를 분석하고, F′, F′′ 및 h의 헤시안의 여인수를 포함하는 행렬식 공식을 유도한다.
• 기존에 알려진 선형 동차함수의 성질을 활용하여 이러한 함수들이 항상 det(h_ij) = 0을 만족함을 보인다.
• 유도된 조건을 특정 경제생산함수에 적용하여, 그 그래프가 평평한지(즉, 0인 가우스-크로네커 곡률을 가지는지) 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동질함수 f = F(h)가 동차 미분방정식 det(f_ij) = 0을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 동질생산함수의 그래프가 평평한 경우, 즉 0인 가우스-크로네커 곡률을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 코브-더글라스 및 ACMS와 같은 고전적 경제생산함수 중에서 동질구조에 의해 그래프가 평평해지는 것은 무엇인가?
• RQ4 기저 동차함수 h가 det(h_ij) = 0을 만족하는 조건의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ5 생산함수 그래프의 곡률 성질은 그 동차도와 함수 형태와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• f = F(h)가 동차 미분방정식을 만족하려면 h가 d ≠ 1인 d-동차이며 det(h_ij) = 0이어야 하며, F′ ≠ 0이면 F의 형태에 관계없이 성립한다.
• 동질함수의 그래프가 0인 가우스-크로네커 곡률을 가지는 것은 h가 det(h_ij) = 0을 만족하거나 f가 선형 동차일 때에 한하여 성립한다.
• 코브-더글라스 함수 P = γx₁^α₁⋯xₙ^αₙ의 경우, F∘P의 그래프가 0 곡률을 가지려면 F와 P가 모두 선형이어야 한다.
• ACMS 함수 Q = γ(∑aᵢ^ρxᵢ^ρ)^{d/ρ}의 경우, F∘Q의 그래프가 0 곡률을 가지려면 ρ = 1 이거나 f가 선형 동차여야 한다.
• deg(h) ≠ 1일 때 F∘h의 평탄성에 대해 det(h_ij) = 0은 필수적이고 충분한 조건이며, 이 조건은 h가 열화되거나 선형 동차일 경우에만 성립한다.