[논문 리뷰] Solutions to Master Equations of Quantum Brownian Motion in a General Environment with External Force

Christen H. Fleming, B. L. Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 18.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 외부 힘이 작용하는 일반적인 환경에 결합된 양자 브라운 운동 옹호자에 대해 HPZ 마스터 방정식의 폐쇄형 해를 유도하며, 로렌트 급수 형태의 스펙트럼 밀도를 갖는 경우 마스터 방정식이 고전적 매개변수 옹호자 문제로 축소됨을 보여준다. 핵심 결과는 모든 초기 상태가 열 저장고에 의해 결정되는 공분산을 가지며 외부 힘에 의해 결정되는 평균을 갖는 가우시안 밀도 행렬로 진화하며, 후기 시점에서의 불확도 및 엔트로피 공식이 명시적으로 제공된다는 것이다.

ABSTRACT

We revisit the model of a system made up of a Brownian quantum oscillator under the influence of an external classical force and linearly coupled to an environment made up of many quantum oscillators at zero or finite temperature. We show that the HPZ master equation for the reduced density matrix derived earlier [B.L. Hu, J.P. Paz, Y. Zhang, Phys. Rev. D 45, 2843 (1992)] with coefficients obtained from solutions of integro-differential equations can assume closed functional forms for a fairly general class of spectral densities of the environment at arbitrary temperature and coupling strength. As an illustration of these new results we solve the corresponding master equation and calculate, among other physical quantities, the uncertainty function whose late time behavior can be obtained fully. This produces a formula for investigating the standard quantum limit which is central to addressing many theoretical issues in macroscopic quantum phenomena and experimental concerns related to low temperature precision measurements. We find that any initial state always settles down to a Gaussian density matrix whose covariance is determined by the thermal reservoir and whose mean is determined by the external force. For more general spectra we show that the solution of the master equation can be reduced to solving for the motion of a classical parametric oscillator with parametric frequency determined by the unsolved for master equation coefficients. States in these systems experience evolution that is parametrically similar to the simpler evolution explicitly determined for in the case of Laurent-series spectra.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 환경과 외부 힘을 고려한 양자 옹호자에 대해 HPZ 마스터 방정식의 정확한 폐쇄형 해를 유도하는 것.
• HPZ 방정식의 적분-미분 계수의 복잡성을, 스펙트럼 밀도의 광범위한 클래스에 대해 함수 형태로 표현함으로써 해결하는 것.
• 비마르코프 동역학과 열화 과정에서 온도, 결합 강도, 고주파수/저주파수 절단의 역할을 명확히 하는 것.
• 마스터 방정식의 해가 고전적 매개변수 옹호자 문제로 축소되며, 상태 진화에 대한 완전한 해석적 제어를 가능하게 하는 것.
• 비마르코프, 유한온도 환경에서의 불확도, 엔트로피, 그리고 표준 양자 한계의 거동를 조사하는 것.

제안 방법

• 저자들은 주파수에 대한 로렌트 급수 형태로 전개 가능한 스펙트럼 밀도에 대해, 영향 기여 경로 적분 방법을 사용하여 마스터 방정식 계수를 유도한다. 이때 고주파수 및 저주파수 절단을 고려한다.
• 마스터 방정식은 위상공간 특성 함수로 변환하고 특성선 방법을 적용하여 누적량의 진화를 추적함으로써 해를 구한다.
• 해는 시간에 따라 변하는 주파수를 갖는 매개변수 옹호자의 고전적 운동 방정식을 푸는 것으로 축소된다. 이 주파수는 해를 구하지 못한 계수에 의해 결정된다.
• 임의의 온도와 결합 강도에서 마스터 방정식 계수의 해석적 표현을 유도하며, 후기 시점의 점근적 행동도 포함한다.
• 해로부터 불확도 함수와 선형 엔트로피를 명시적으로 계산하여 열화 과정의 행동을 규명한다.
• 외부 고전적 힘의 영향은 평균 궤적을 수정함으로써 통합되며, 이는 너비와 모든 누적량을 그대로 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 스펙트럼 밀도와 임의의 온도에서 HPZ 마스터 방정식을 폐쇄형으로 어떻게 풀 수 있는가?
• RQ2 비마르코프, 유한온도 환경에서 임의의 결합 강도를 갖는 경우, 감소된 밀도 행렬의 후기 시점 행동은 어떠한가?
• RQ3 고주파수 및 저주파수 절단이 마스터 방정식 계수의 발산, 특히 비정상적인 확산 항에서 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 외부 고전적 힘이 평균을 초월하여 파동 패킷의 너비와 형태에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비국소적 소산에 대해 마스터 방정식의 전반적인 해가 고전적 매개변수 옹호자 문제로 축소될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 초기 상태는 후기 시점에 열 저장고에 의해 결정되는 공분산을 가지며 외부 힘에 의해 결정되는 평균을 갖는 가우시안 밀도 행렬로 진화한다.
• 불확도 함수는 후기 시점에 유한하고 온도에 의존하는 값을 가지며, 임의의 온도와 결합 강도에 대해 명시적인 해석적 표현이 유도되었다.
• 무한한 고주파수 절단 한계에서 정상적 및 비정상적 확산 계수에 로그 발산이 나타나며, 이는 물리적 고주파수 절단이 반드시 필요함을 시사한다.
• 영온도 저장고에 대해 임의로 강한 결합을 가질 경우 위치 국소화가 임의의 정밀도로 발생하며, 이는 비perturbative 효과를 강조한다.
• 일반 마스터 방정식의 해는 일차원 고전적 매개변수 옹호자 문제를 푸는 것으로 축소되며, 국소적 소산의 경우와 동일한 구조적 형태를 갖는다.
• 외부 힘은 상태의 평균에만 영향을 미치며, 너비와 모든 고차 누적량은 그대로 유지되며, 이는 파동 패킷의 형태 안정성을 확인한다.