[논문 리뷰] Solvability of Differential Riccati Equations and Applications to Algorithmic Trading with Signals

Fayçal Drissi|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 15.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형-지수-제곱가우시안(LEQG) 제어 문제에서 나타나는 부정계수를 가진 행렬 미분 리카티 방정식(DRE)에 대한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이 결과는 신호와 베이지안 학습을 활용한 최적의 알고리즘 트레이딩 전략, 특히 헤지 기반의 다중 자산 마켓 메이킹 및 드리프트 추정을 통한 최적의 실행 전략을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study a differential Riccati equation (DRE) with indefinite matrix coefficients, which arises in a wide class of practical problems. We show that the DRE solves an associated control problem, which is key to provide existence and uniqueness of a solution. As an application, we solve two algorithmic trading problems in which the agent adopts a constant absolute risk-aversion (CARA) utility function, and where the optimal strategies use signals and past observations of prices to improve their performance. First, we derive a multi-asset market making strategy in over-the-counter markets, where the market maker uses an external trading venue to hedge risk. Second, we derive an optimal trading strategy that uses prices and signals to learn the drift in the asset prices.

연구 동기 및 목표

• 기존 고전적 결과로 다루어지지 않는 부정계수를 가진 행렬 미분 리카티 방정식(DRE)에 대한 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• DRE 해를 두 가지 알고리즘 트레이딩 문제에 적용하기 위해: 신호와 외부 헤지 기반의 다중 자산 마켓 메이킹, 그리고 자산 드리프트의 베이지안 학습을 통한 최적의 실행.
• DRE 해로부터 유도된 계산 효율적인 피드백 제어 전략을 제공하여 실시간 트레이딩 시스템의 성능을 향상시키기 위해.
• 기존 실행 전략에서 모델 파라미터를 사전에 고정하는 한계를 보완하기 위해, 온라인 학습을 통한 시간에 따라 변화하는 파라미터 업데이트를 통합하기 위해.
• 정규적 시간에 따라 변화하는 행렬 계수와 상태에 의존하는 이차 비용 항을 允허하는 바탕으로 이전의 DRE 해법 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 확률적 제어 이론과 하미튼-자코비-벨만(HJB) 방정식을 사용하여 지수 유틸리티와 부정계수 비용 행렬을 가진 LEQG 문제의 최적 제어를 유도한다.
• 가장자기 함수에 이차형 안사제를 적용하여 HJB 편미분방정식을 행렬 계수에 대한 상미분방정식(OED)의 체계로 감소시킨다.
• 해가 유한 시간 내에 폭발하지 않음을 보여주는 유계성과 최대성 조건을 통해 유도된 DRE의 해에 대한 존재성과 유일성을 증명한다.
• Bergault 등(2018)과 유사한 근사 기법을 사용하여 다중 자산 마켓 메이킹 문제를 다변량 옴스타인-울렌벡 운동에 따라 다루며.
• DRE 해로부터 유도된 이득 행렬을 사용한 피드백 제어 법칙을 유도하여 실시간 견적 및 헤지 계산을 가능하게 한다.
• 관측된 가격과 신호를 통해 드리프트 파라미터를 베이지안 업데이트하여 온라인 학습을 최적 제어 프레임워크에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부정계수를 가진 행렬 미분 리카티 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 그러한 DRE는 어떻게 알고리즘 트레이딩의 피드백 제어를 유도하는 데 사용될 수 있는가? 특히 신호와 학습을 통한 경우에.
• RQ3 신호와 과거 가격 관측치를 통합할 경우 마켓 메이킹 및 실행 전략의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법은 고정된 파라미터 전략에 비해 최적의 실행에서 어떤 개선을 이룬다?
• RQ5 DRE 해는 장외(OTC) 시장에서 계산 효율적이고 실시간으로 작동하는 트레이딩 전략 설계에 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 부정계수를 가진 DRE는 유계성 조건을 만족하는 해 행렬이 컴act 집합 내에 존재함을 보여주는 모순 증명을 통해 전체 시간 영역에서 고유한 해를 갖는다.
• LEQG 문제의 최적 제어는 DRE 해로부터 유도된 피드백 이득을 가지는 선형 피드백 법칙 형태를 띈다.
• 다중 자산 마켓 메이킹 문제에서는 신호, 고객 레벨링, 외부 헤지 기반의 프레임워크를 통합하여 대규모 포트폴리오에 대한 리스크 균형 잡힌 견적을 가능하게 한다.
• 최적의 실행 전략에서는 관측된 가격과 신호를 기반으로 드리프트 파라미터를 지속적으로 베이지안 업데이트하여 파라미터 불확실성에 대한 강건성을 향상시킨다.
• DRE 해는 최적 견적과 헤지 비율의 효율적 수치 계산을 가능하게 하여 고주기 거래 성능에 핵심적이다.
• 가장자기 함수는 DRE 해를 포함하는 이차형식에 의해 위에서 유계이며, 이는 최적성의 검증 프레임워크를 제공한다.