[논문 리뷰] Solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives via Mittag-Leffler functions

Mohamed I. Abbas, Maria Alessandra Ragusa|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 13.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미타그레플레르 함수와 고정점 정리들을 이용하여 두 개의 하다르드 분수도 도함수를 포함하는 랑주뱅 방정식의 해가 존재하고 유일함을 입증한다. 문제를 등가의 볼테라 적분방정식으로 변환함으로써, 샤페르의 고정점 정리를 이용하여 존재성을, 바나흐의 수축 원리 이용하여 유일성을 증명하며, 비선형 항과 분수도 매개변수에 대한 명시적인 조건을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we discuss the solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives. The method of this discussion is to study the solutions of the equivalent Volterra integral equation in terms of Mittag- Leffler functions. The existence and uniqueness results are established by using Schauder fixed point theorem and Banach fixed point theorem respectively. An example is given to illustrate the main results.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 매질에서의 고전적 모델을 일반화하는 두 개의 하다르드 분수도 도함수를 포함하는 랑주뱅 방정식의 해법을 조사한다.
• 기존 문헌의 격차를 메우기 위해, 미타그레플레르 함수를 활용한 등가의 볼테라 적분방정식을 분석한다.
• 하다르드 분수도 도함수와 비선형 소스 항을 포함하는 경계값 문제에 대해 존재성 및 유일성 결과를 수립한다.
• 가중 함수 공간에서 고정점 정리를 이용한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 하다르드 분수적분과 도함수의 성질을 이용하여 두 항의 하다르드 분수도 랑주뱅 방정식을 등가의 볼테라 적분방정식으로 변환한다.
• 특히 $\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda(\ln t)^\alpha)$ 형태의 미타그레플레르 함수를 사용하여 적분형식에서 해의 커널을 표현한다.
• 가중 공간 $C_{\gamma,\ln}([1,e],\mathbb{R})$ 에서 샤페르 고정점 정리를 적용하여 적어도 하나의 해가 존재함을 증명한다.
• 비선형 항에 대한 리프시츠 조건을 만족할 경우 바나흐 고정점 정리를 적용하여 해의 유일성을 확립한다.
• 베타 함수 $\mathbb{B}(a,b)$ 와 감마 함수 $\Gamma(a)$ 를 이용하여 적분 연산자를 유계화하고 수축 조건을 유도한다.
• 가중 공간에 정의된 연산자 $\mathcal{H}$ 를 정의하고, $L\omega_2 < 1$ 를 만족하는 충분조건 하에서 이 연산자가 수축임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 하다르드 분수도 도함수를 포함하는 랑주뱅 방정식이 적어도 하나의 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템의 해가 유일해지는 조건은 무엇이며, 비선형 항의 리프시츠 상수는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 미타그레플레르 함수와 하다르드 분수미분법은 해의 구조를 어떻게 특징짓는가?
• RQ4 가중 공간 $C_{\gamma,\ln}$ 이 해 연산자의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 명시적인 예시를 통해 이론적 결과가 계산 가능한 유계를 갖는지 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 항이 $L_1$ 과 $L_2$ 를 포함한 성장 유계 조건을 만족할 경우 샤페르의 고정점 정리를 이용하여 적어도 하나의 해가 존재함을 입증하였다.
• 비선형 항이 리프시츠 조건을 $L$ 의 상수로 만족할 경우, $L\omega_2 < 1$ 를 만족할 경우 바나흐의 수축 원리를 이용하여 해가 유일함을 입증하였다.
• 예시 $f(t,x) = \sin\left(\frac{1}{81}|x|\right) + \frac{1}{(1+t)^2}$ 에서 $L_1\omega_2 \approx 0.377 < 1$ 이므로 적어도 하나의 해가 존재함을 확인하였다.
• 예시 $f(t,x) = \frac{|x|}{(99+t^2)(1+|x|)}$ 에서 $L\omega_2 \approx 0.306 < 1$ 이므로 유일한 해가 존재함을 확인하였다.
• 미타그레플레르 함수 $\mathbb{E}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(1)$ 는 약 5.573로 계산되었으며, 이는 수축 상수를 유계화하는 데 핵심적인 역할을 하였다.
• 유일성 증명에서 수축 인자로 사용된 유도된 유계 $\omega_2 = \frac{\mathbb{B}(\beta,1-\gamma)\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda)}{\Gamma(\beta)}\left[\mathbb{B}(\alpha,1+\beta-\gamma) + \mathbb{B}(\alpha,\beta)\right]$ 는 수축 인자를 정량화한다.