[논문 리뷰] Solvability of multidimensional quadratic BSDEs

Asgar Jamneshan, Michael Kupper외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 종단 조건이 유계이든 무한대이든 간에 다차원 제곱형 역확률미분방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 보장하는 충분조건을 수립한다. 핵심 기여는 종단 조건 또는 시스템의 의존성이 충분히 작을 경우 해가 존재함을 증명하여 이전 결과를 더 넓은 설정으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We consider multidimensional quadratic BSDEs with bounded and unbounded terminal conditions. We provide sufficient conditions which guarantee existence and uniqueness of solutions. In particular, these conditions are satisfied if the terminal condition or the dependence in the system are small enough.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 종단 조건(유계이든 무한대이든)을 가진 다차원 제곱형 BSDE의 해법 가능성 문제를 다루는 것.
• 다차원 설정에서 해의 존재성과 유일성을 보장하는 충분조건을 규명하는 것.
• 종단 조건과 생성자 의존성에 대한 가정을 완화함으로써 기존 제곱형 BSDE 결과를 확장하는 것.
• 비선형 역동성을 포함하는 수학적 금융 및 확률적 제어 분야의 응용을 위한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 적절한 바나흐 공간에서 고정점 정리를 활용하여 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 지수 마틴갈레 기법과 BMO(유계 평균 진동) 이론에 기반한 사전 추정을 도입한다.
• 해의 존재성을 확보하기 위해 생성자의 제곱형 성장 특성을 종단 조건의 크기 또는 계수의 의존성의 크기를 작게 함으로써 통제한다.
• 핵심 요소로는 무한대 종단 조건을 다루기 위해 국소화 절차를 사용하는 것이다.
• 분석 과정에서 고전적 비교 정리와 사전 추정을 다차원 경우로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 조건이 무한대일 경우, 다차원 제곱형 BSDE가 고유한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 생성자의 제곱형 성장 특성을 어떻게 통제하여 해법 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 종단 조건 또는 의존성 구조에 대한 어떤 작고성 조건이 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ4 다차원 설정에서 유계 종단 조건에 국한되지 않는 결과로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 작고성 조건 하에서 종단 조건이 무한대인 다차원 제곱형 BSDE에 대해 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 해의 존재성은 기울기 성분에 대해 제곱형 성장을 보이는 생성자 경우에도 유지된다.
• 작고성 조건은 종단 조건이나 생성자의 의존성 구조 중 하나에 적용된다.
• 이전 결과는 유계 종단 조건이나 스칼라 방정식에 국한되었지만, 본 결과는 이를 일반화한다.