[논문 리뷰] Solvable fundamental groups of algebraic varieties and Kähler manifolds

Donu Arapura, Madhav V. Nori|arXiv (Cornell University)|1997. 06. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정규 복소 대수기하학적 다양체 또는 컴acts Kähler 다양체의 Zariski 열린 부분집합의 기본군이 ℚ 위의 행렬로 구성된 가군군이거나 다중순환군이라면, 그 군은 유한 차수의 노름군을 가져야 한다고 증명한다. 저자들은 이러한 군들을 대수군으로 완비하고, 갈루아 이론적 및 호모로지적 방법을 통해 그 항등원 성분이 유니포텐트임을 보여, 이로써 이러한 군들의 큰 범주가 이러한 공간들의 기본군이 될 수 없음을 제거한다.

ABSTRACT

This is a long overdue write up of the following: If the fundamental group of a normal complex algebraic variety (respectively Zariski open subset of a compact Kähler manifold) is a solvable group of matrices over Q (respectively polycyclic group), then it is virtually nilpotent. This should be interpreted as saying that a large class of solvable groups will not occur as fundamental groups of such spaces. The essential strategy is to first "complete" these groups to algebraic groups (generalizing constructions of Malcev and Mostow), and then check that the identity component is unipotent. This is done by Galois theoretic methods in the algebraic case, and is reduced to homological properties of one dimensional characters in the analytic case.

연구 동기 및 목표

• 정규 복소 대수기하학적 다양체 또는 컴팩트 Kähler 다양체의 Zariski 열린 부분집합의 기본군으로 나타날 수 있는 가군군의 범주를 규명하는 것.
• 특히 ℚ 위의 행렬군 또는 다중순환군으로 표현 가능한 특정 가군군이 이러한 기하학적 대상의 기본군이 될 수 있는지 여부에 대한 오랜 동안의 질문을 다루는 것.
• 이러한 가군군이 반드시 유한 차수의 노름군이어야 한다는 것을 증명하여, 이러한 기하학적 맥락에서 가능한 기본군의 범주를 제한하는 것.
• Malcev와 Mostow의 군 완비화 기법을 대수적 및 해석적 기본군의 맥락으로 일반화하는 것.
• 갈루아 이론적 및 호모로지적 방법을 사용하여 완비된 군의 항등원 성분이 유니포텐트임을 증명하는 것.

제안 방법

• Malcev와 Mostow의 구성의 일반화를 통해 주어진 가군 기본군을 대수군으로 완비하는 것.
• 대수적 경우에서 완비된 군의 구조를 분석하기 위해 갈루아 이론적 기법을 적용하는 것.
• 해석적 경우에서 문제를 일차원 특성의 호모로지적 성질을 연구하는 것으로 환원하는 것.
• 완비된 군의 항등원 성분이 유니포텐트임을 보이는 것.
• 완비된 군의 항등원 성분의 유니포텐트성을 이용해 원래 군이 유한 차수의 노름군임을 유도하는 것.
• 유니포텐트 군이 노름군이며, 노름군의 유한 확장도 여전히 유한 차수의 노름군임을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℚ 위의 행렬군으로 표현 가능한 가군군이 정규 복소 대수기하학적 다양체의 기본군이 될 수 있는가?
• RQ2 다중순환군이 컴팩트 Kähler 다양체의 Zariski 열린 부분집합의 기본군으로 나타나는가?
• RQ3 대수기하학적 다양체와 Kähler 다양체의 맥락에서 가군 기본군이 유한 차수의 노름군이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 군 완비화 기법을 대수적 및 해석적 기본군에 어떻게 확장하여 그들의 노름군 구조를 연구할 수 있는가?
• RQ5 갈루아 이론적 및 호모로지적 방법은 완비된 군의 항등원 성분이 유니포텐트임을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정규 복소 대수기하학적 다양체의 가군 기본군이 ℚ 위의 행렬군으로 포함될 경우, 반드시 유한 차수의 노름군이어야 한다.
• 컴팩트 Kähler 다양체의 Zariski 열린 부분집합의 경우, 기본군이 다중순환군이라면 유한 차수의 노름군이어야 한다.
• 이러한 가군군을 대수군으로 완비하면 항등원 성분이 유니포텐트가 된다.
• 완비된 군의 항등원 성분이 유니포텐트임은 원래 군이 유한 차수의 노름군임을 의미한다.
• 증명은 대수적 맥락에서는 갈루아 이론적 방법에 의존하고, 해석적 맥락에서는 일차원 특성의 호모로지 분석을 수행한다.
• 결과적으로 이러한 기하학적 맥락에서 나타날 수 있는 가군군의 범주에 강력한 제약 조건을 설정한다.