[논문 리뷰] Solving Challenging Large Scale QAPs

Koichi Fujii, Naoki Ito외 4명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대규모 이차 할당 문제(QAP)를 해결하기 위해 라그랑주 이중 비음성( doubly nonnegative, DNN) relaxation과 뉴턴-브라켓팅 방법을 사용하는 병렬 분할정복 알고리즘을 제시한다. 100,000개 이상의 코어에서 우바이티티 생성기(UG) 프레임워크를 활용하여, 강력한 하한값을 확보하고 QAPLIB의 이전에 해결되지 않은 tai30a 및 sko42 문제를 처음으로 정확하게 해결하였다.

ABSTRACT

We report our progress on the project for solving larger scale quadratic assignment problems (QAPs). Our main approach to solve large scale NP-hard combinatorial optimization problems such as QAPs is a parallel branch-and-bound method efficiently implemented on a powerful computer system using the Ubiquity Generator(UG) framework that can utilize more than 100,000 cores. Lower bounding procedures incorporated in the branch-and-bound method play a crucial role in solving the problems. For a strong lower bounding procedure, we employ the Lagrangian doubly nonnegative (DNN) relaxation and the Newton-bracketing method developed by the authors’ group. In this report, we describe some basic tools used in the project including the lower bounding procedure and branching rules, and present some preliminary numerical results. Our next target problem is QAPs with dimension at least 50, as we have succeeded to solve tai30a and sko42 from QAPLIB for the first time.

연구 동기 및 목표

• 히우리스틱 기법의 진전에도 불구하고 여전히 도전적인 크기 35를 초월하는 대규모 QAP 인스턴스를 해결하기 위함.
• NP-완전 문제인 QAP를 다룰 수 있는 확장 가능한 병렬 분할정복 프레임워크를 개발하기 위함.
• 라그랑주 이중 비음성(DNN) 근사와 뉴턴-브라켓팅 방법을 통해 하한값을 향상시키기 위함.
• 이전에 해결되지 않은 QAPLIB의 인스턴스, 예를 들어 tai30a 및 sko42에 대해 정확한 해를 도출하기 위함.
• 조합 최적화 문제에서 거대한 병렬 처리를 가능하게 하는 UG 프레임워크의 유효성을 입증하기 위함.

제안 방법

• 100,000개 이상의 코어를 활용하기 위해 우바이티티 생성기(UG) 프레임워크에 기반한 병렬 분할정복(B&B) 방법을 구현함.
• 강력하고 신뢰할 수 있는 하한값을 생성하기 위해 뉴턴-브라켓팅(NB) 방법을 사용한 라그랑주 DNN 근사법을 적용함.
• 균일성 가정 하에 B&B 트리 내의 노드 수를 예측하기 위해 샘플링 기반의 노드 추정 기법을 적용함.
• 노드 수 추정치를 비교하기 위해 세 가지 분할 규칙—M(최소 비용), P(치환 기반), D(이중 기반)—을 구현함.
• NB 방법으로부터 도출된 이중 타당해를 활용하여 하한값의 타당성을 보장함.
• NB를 통한 하한값 계산과 상한값 계산, 가지치기 전략을 조합하여 수렴 속도를 향상시킴.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 DNN 솔버인 BBCPOP과 ADMM에 비해 뉴턴-브라켓팅 방법이 대규모 QAP 문제의 하한값을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 UG를 활용한 병렬 B&B 프레임워크가 100,000개 이상의 코어로 확장되어 이전에 해결이 어려웠던 QAP 인스턴스를 해결할 수 있는가?
• RQ3 다양한 분할 규칙(M, P, D)이 대규모 QAP 문제의 B&B 트리 내 노드 수 추정치에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 차원 ≥50인 QAP 인스턴스를 정확한 방법으로 해결하는 데 있어 계산상의 타당성이 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 이전에 해결되지 않았던 tai30a 및 sko42 문제에 대해 정확한 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 뉴턴-브라켓팅 방법은 더 큰 인스턴스(n ≥60)에 대해 BBCPOP 및 ADMM보다 더 날카운 하한값을 생성하였으며, 특히 tai60a 및 tai80a에서 두드러진 성능을 보였다.
• 이 방법은 QAPLIB의 tai30a 및 sko42 문제를 처음으로 성공적으로 해결하여 정확한 QAP 해법 분야에서 중요한 진전을 이룩하였다.
• tai30a의 경우 추정된 노드 수는 4250만 개였고, 실제 생성된 노드 수는 3400만 개로, 높은 추정 정확도를 입증하였다.
• 대부분의 경우 분할 규칙 D가 가장 낮은 노드 수 추정치를 제공하여 더 뛰어난 가지치기 효율성을 보였다.
• 샘플링 기반의 노드 추정 기법은 신뢰할 수 있는 예측을 제공하였으며, 실제 노드 수는 항상 추정값의 3배 이내로 유지되었다.
• 이 방법은 UG 프레임워크에서 확장 가능성을 입증하였으며, 100,000개 이상의 코어를 활용한 거대 병렬 처리를 실현하여 이전에 해결되지 않았던 인스턴스를 해결하는 데 기여하였다.