[논문 리뷰] Solving delay differential equations via Sumudu transform

Mathew O. Aibinu, Surendra Thakur외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 변수 계수와 다중비례 지연을 가진 펜투그로프 유형의 비선형 지연 미분방정식(DDEs)을 해결하기 위해 Sumudu 변환 방법(STM)의 새로운 응용을 제시한다. 변분 반복 방법과 Sumudu 변환을 조합함으로써 저자들은 정확한 해와 근사해를 효율적으로 도출하며, 예시를 통해 계산 복잡도가 감소하고 정확도가 높음을 입증한다. 특히 $ e^x $로의 수렴을 보여준다. 이 방법은 선형화나 섭동을 요구하지 않고도 비선형 볼테라 적분미분방정식을 효과적으로 다룰 수 있다.

ABSTRACT

A technique which is known as Sumudu Transform Method (STM) is studied for the construction of solutions of a most general form of delay differential equations of pantograph type. This is a pioneer study on using the STM to construct the solutions of delay differential equations of pantograph type with variable coefficients. We obtain the exact and approximate solutions of nonlinear problems with multiproportional delays and variable coefficients. The strength of STM is illustrated in reducing the complex computational work as compared to the well-known methods. This paper shows how to succinctly identify the Lagrange multipliers for nonlinear delay differential equations with variable coefficients, using the STM. The potency and suitability of the STM are exhibited by giving expository examples. The solutions of nonlinear Volterra integro-differential equations of pantograph type are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 변수 계수를 가진 비선형 지연 미분방정식(DDEs)의 펜투그로프 유형을 해결하기 위한 새로운 접근법을 개발하는 것.
• 기존의 상수 계수 DDEs에만 적용 가능한 방법을 다중비례 지연을 가진 더 일반적인 경우로 확장하는 것.
• Sumudu 변환의 성질을 활용하여 DDEs를 해결하는 데 있어 계산 복잡도를 감소시키는 것.
• 선형화나 섭동 기법 없이도 STM이 라그랑주 승수와 반복적 해를 구성하는 데 효과적인지 입증하는 것.
• 예시를 통해 $ e^x $와 같은 정확한 해로의 수렴을 보여줌으로써 방법의 타당성을 검증하는 것.

제안 방법

• 비선형 DDEs에 변수 계수를 가진 경우에 Sumudu 변환 방법(STM)을 적용하기 위해 변분 반복 방법(VIM)과 Sumudu 변환을 조합한다.
• Sumudu 변환을 사용하여 미분방정식을 대수방정식으로 변환함으로써 해법 과정을 단순화한다.
• Sumudu 변환을 통해 라그랑주 승수를 간결하게 식별함으로써 복잡한 반복 절차를 피한다.
• 초기 근사값 $ y_1(x) = 1 + x $ 로 시작하여 역 Sumudu 변환을 활용한 반복 체계를 구성한다.
• 고차항은 $ S[y_n^2(x/2)] $ 를 포함한 표현에 역 변환을 적용함으로써 반복적으로 계산하며, 고차항(HOT)을 잘라내어 처리한다.
• 단위를 유지하고 주파수 도메인 변환의 필요성을 피함으로써 물리적 및 생물학적 모델링에 있어 적용 가능성을 높인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sumudu 변환 방법(STM)은 변수 계수와 다중비례 지연을 가진 비선형 펜투그로프 유형 DDEs에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 이러한 문제에 대해 STM은 기존 방법과 비교해 계산 복잡도와 정확도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 STM은 선형화나 섭동 기법 없이도 라그랑주 승수를 효율적으로 식별할 수 있는가?
• RQ4 STM을 통한 반복적 해가 비선형 DDEs에서 정확한 해로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 STM은 비선형 볼테라 적분미분방정식의 펜투그로프 유형으로 확장하여 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 반복적 해 $ y_n(x) = ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}x^i $ 는 $ n \to \infty $ 일 때 정확한 해 $ y(x) = e^x $ 로 수렴함을 확인하여 방법의 정확도를 입증한다.
• 다중비례 지연 $ x/2 $ 를 가진 비선형 DDE에 대해 정확한 해 $ e^x $ 를 성공적으로 계산하였으며, 이는 테일러 급수 전개와 일치하는 항들을 포함한다.
• 라그랑주 승수로 $ \varphi(u) = -u^2 $ 가 식별되어 체계적이고 계산적으로 효율적인 반복 체계를 가능하게 한다.
• 전통적 방법에 비해 STM은 선형화나 섭동 가정 없이도 계산 노력을 크게 감소시킨다.
• STM은 비선형 볼테라 적분미분방정식의 펜투그로프 유형에 대한 정확한 해와 근사해 모두에 효과적으로 적용된다.
• 시각적 결과는 근사해와 정확한 해 사이에 강한 일치를 보이며, 방법의 신뢰성과 수렴성을 검증한다.