[논문 리뷰] Solving effectively some families of Thue Diophantine equations

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 차수 $ d \geq 4 $인 수체수 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $의 단위군의 큰 부분집합에 제약을 두어, 특정 가족의 Thue 디오판틴 방정식에 대해 효과적인 상계를 확립한다. 높이 상계와 로그형식을 이용하여, $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 를 만족하는 해 $ (x, y, \varepsilon) $ 가 $ m $ 에 대해 효과적으로 유계임을 증명하며, 이는 $ \alpha $ 와 구간 $ (0,1) $ 내의 매개변수 $ \nu $ 에 따라 결정되는 명시적 지수를 포함한다. 이는 단위군의 중요한 계열에 대해 한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

Let $α$ be an algebraic number of degree $d\ge 3$ and let $K$ be the algebraic number field $\Q(α)$. When $\varepsilon$ is a unit of $K$ such that $\Q(α\varepsilon)=K$, we consider the irreducible polynomial $f_\varepsilon(X) \in \Z[X]$ such that $f_\varepsilon(α\varepsilon)=0$. Let $F_\varepsilon(X,Y)$ be the irrreducible binary form of degree $d$ associated to $f_{\varepsilon}(X) $ under the condition $F_{\varepsilon}(X,1)=f_{\varepsilon}(X)$. For each positive integer $m$, we want to exhibit an effective upper bound for the solutions $(x,y,\varepsilon)$ of the diophantine inequation $|F_\varepsilon(x,y)|\le m$. We achieve this goal by restricting ourselves to a subset of units $\varepsilon$ which we prove to be sufficiently large as soon as the degree of $K$ is $\geq 4$.

연구 동기 및 목표

• 이차형식 $ F_\varepsilon $ 가 수체수 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $ 의 단위 $ \varepsilon $ 와 관련된 이항형식인 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 의 형태를 갖는 Thue 디오판틴 방정식의 해에 대해 효과적인 상계를 확립하는 것.
• 조건 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $ 하에서 해의 효과적 높이 상계에 관한 추측을 증명하는 것. 이때는 단위군의 큰 부분집합인 $ \varepsilon $ 에 초점을 맞춘다.
• 이전의 삼차체 수학 결과를 고차수 체로 확장하기 위해, 갈로아 켤레의 크기를 통제하는 새로운 단위군 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 를 도입하는 것.
• 수체수의 차수 $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ 일 때, 집합 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 가 단위군 내에서 양의 밀도를 가짐을 보여, 이 상계가 비자명하고 무한한 해의 가족에 적용됨을 보장하는 것.
• 해의 크기와 로그 높이가 $ m $ 의 거듭제곱으로 유계임을 보여주는 명시적이고 계산 가능한 상수 $ \kappa_4, \kappa_5 $ 를 제공하는 것.

제안 방법

• 단위 $ \varepsilon \in \mathbf{Z}_K^\times $ 중에서 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $ 를 만족하고, 두 포함사상 $ \sigma_i, \sigma_j $ 가 $ |\sigma_i(\alpha\varepsilon)| = \|\alpha\varepsilon\| $ 과 $ |\sigma_j(\alpha\varepsilon)| \geq \|\alpha\varepsilon\|^\nu $ 를 만족하는 집합 $ \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ 를 정의한다.
• 집합 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 는 $ \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ 에 속하고 $ \varepsilon^{-1} \in \mathcal{E}_\nu^{(1/\alpha)} $ 를 만족하는 단위들로 구성되며, 이는 대칭성과 밀도 향상을 보장한다.
• 단위군을 $ \mathbb{R}^{r+1} $ 에 있는 격자로 변환하기 위해 로그 임bedding $ \lambda: \mathbf{Z}_K^\times \to \mathbb{R}^{r+1} $ 를 사용한다. 여기서 $ r $ 은 단위의 랭크이다.
• 갈로아 켤레의 크기 조건을 만족하는 단위를 포괄하기 위해 로그 공간 내에 영역 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $ 를 정의한다.
• 차수 $ d \geq 4 $ 일 때, 이러한 영역들이 $ r $ 차원에서 양의 부피를 가지며, 이는 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 가 $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ 에서 양의 밀도를 가짐을 의미한다.
• 선형 로그형식 이론과 높이 상계를 적용하여, $ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} $ 의 효과적 상계를 $ m^{\kappa_5} $ 의 형태로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체수 $ \mathbf{Z}_K^\times $ 의 큰 부분집합에 걸쳐 변동하는 단위 $ \varepsilon $ 에 대해, Thue 방정식 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 의 해 $ (x, y, \varepsilon) $ 에 대해 효과적인 상계를 확립할 수 있는가?
• RQ2 차수 $ \geq 4 $ 인 수체수의 단위군 내에서 양의 밀도를 갖는 부분집합에 대해, Thue 방정식의 효과적 높이 상계에 관한 추측이 성립하는가?
• RQ3 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 의 구조는 어떠한가? 이 집합의 단위군 내 양의 성질이 효과적 상계를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ4 주어진 단위 제약 조건 하에서, 해 $ (x, y) $ 의 크기와 로그 높이 $ h(\alpha\varepsilon) $ 는 매개변수 $ m $ 과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 로그형식과 부피 추정을 이용하여, 관련 체 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) $ 의 차수가 $ \geq 3 $ 인 Thue 방정식의 가족에 대해 이 추측을 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ m \geq 2 $ 에 대해, $ 0 < |x| \leq |y| $ 와 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 를 만족하는 모든 해 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ 는 $ \max\{|y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_4} $ 를 만족하며, 여기서 $ \kappa_4 > 0 $ 는 효과적으로 계산 가능한 상수이다.
• 모든 $ m \geq 2 $ 에 대해, $ xy \neq 0 $ 와 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 를 만족하는 모든 해 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 는 $ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_5} $ 를 만족하며, $ \kappa_5 > 0 $ 는 효과적으로 계산 가능한 상수이다.
• 수체수의 차수 $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ 일 때, 집합 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 는 $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ 에서 양의 밀도를 가짐을 보여, 이 상계가 비자명하고 무한한 해의 가족에 적용됨을 보장한다.
• 로그 공간 내 영역 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $ 는 $ d \geq 4 $ 일 때 $ r $ 차원에서 양의 부피를 가지며, 이는 그러한 단위가 무한히 많다는 것을 의미한다.
• 증명은 로그 공간 내의 부피 추정과 단위군의 구조에 기반하며, $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)}(e^M) $ 내의 해의 수가 단위의 랭크 $ r $ 에 대해 $ M^r $ 이상의 속도로 증가함을 보여준다.
• 이 결과들은 이전의 삼차체 연구를 확장하며, 특히 $ d \geq 4 $ 일 때 고차수 체수의 자연스럽고 중요한 단위군의 가족에 대해 이 추측을 해결한다.