[논문 리뷰] Solving High-dimensional Linear Stochastic Partial Differential Equations via A Kernel-based Approximation Method

Qi Ye|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 21.

Numerical methods in engineering인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 암시적 오일러 스킴을 통해 고차원 스토하스틱 편미분방정식(SPDEs), 특히 레비 소음에 의해 구동되는 타원형 SPDEs로 재구성된 포물형 SPDEs를 해결하기 위해 커널 기반 콜로케이션 방법을 제안한다. 이 방법은 랜덤 계수를 가진 커널 전개로 근사해를 구성하며, 선형 시스템을 통해 해결함으로써 메쉬의 조밀도에 기반한 확률적 오차 한계를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we improve and complete the theoretical results of the kernel-based approx-imation (collocation) method for solving the high-dimensional stochastic partial differential equations (SPDEs) given in our previous papers. According to the extended theorems, we can use more general positive definite kernels to construct the kernel-based estimators to ap-proximate the numerical solutions of the SPDEs. Because a parabolic SPDE driven by Lévy noises can be discretized into serval elliptic SPDEs by the implicit Euler scheme at time. We mainly focus on how to solve a system of elliptic SPDEs driven by various kinds of right-hand-side random noises. The kernel-based approximate solution of the elliptic SPDEs is a linear combination of the positive definite kernel with the differential and boundary operators of the SPDEs centered at the chosen collocation points, and its random coefficients are obtained by solving a system of random linear equations, whose random parts are simulated by the elliptic SPDEs. Moreover, we introduce the error bounds – confident intervals – of the kernel-based approximate solutions of the elliptic (parabolic) SPDEs in terms of fill distances (or possible time distances) in the probability sense. We also give a well coding algorithm to compute the kernel-based solutions of the second-order parabolic SPDEs driven by time and space Poisson noises. The two-dimensional numerical experiments show that the approximate probability dis-tributions of the kernel-based solutions are well-behave for the Sobolev-spline kernels and the compact support kernels.

연구 동기 및 목표

• 고차원 SPDEs에 대한 커널 기반 근사의 이론적 기초를 일반 정의된 양의 정부호 커널을 포함하여 확장하고 완성하는 것.
• 다양한 유형의 랜덤 노이즈에 의해 구동되는 고차원에서의 타원형 SPDEs 시스템을 해결하는 데 도전하는 것.
• 메쉬의 조밀도 또는 시간 거리 기반의 확률적 프레임워크에서 커널 기반 해의 신뢰구간을 유도하는 것.
• 시간과 공간 포아송 노이즈를 갖는 2차 포물형 SPDEs를 위한 계산적으로 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 소볼레프 스퍼인 및 컴팩트 지지 커널을 사용한 2차원 실험을 통해 방법의 수치적 성능을 검증하는 것.

제안 방법

• 암시적 오일러 스킴을 사용하여 레비 노이즈에 의해 구동되는 포물형 SPDEs를 다각도로 분할하여 여러 개의 타원형 SPDEs로 변환한다.
• 결합점에 중심을 둔 양의 정부호 커널의 선형 조합으로 커널 기반 근사해를 구성한다.
• SPDE의 미분 및 경계 연산자를 커널 함수에 적용하여 시험 함수 공간을 구성한다.
• 결합 조건에서 유도된 랜덤 선형 방정식 시스템을 통해 랜덤 계수를 결정한다.
• 기저 타원형 SPDEs의 수치적 해를 사용하여 선형 시스템의 랜덤 성분을 시뮬레이션한다.
• 메쉬의 조밀도 또는 시간 거리 기반의 확률적 오차 한계(신뢰구간)를 근사해의 신뢰구간으로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 정의된 양의 정부호 커널이 고차원 SPDEs의 커널 기반 콜로케이션 방법에서 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ2 레비 노이즈에 의해 구동되는 포물형 SPDEs는 시간 이산화를 통해 타원형 SPDEs로 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ3 메쉬의 조밀도 기반의 확률적 오차 한계는 커널 기반 SPDE 해에 대해 어떻게 유도되는가?
• RQ4 포아송 노이즈를 갖는 SPDEs의 커널 전개에서 랜덤 계수는 어떻게 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 고차원 설정에서 커널 기반 해는 참값 분포를 얼마나 잘 근사하는가?

주요 결과

• 제안된 커널 기반 방법은 고차원 SPDE 근사에 더 넓은 범위의 정의된 양의 정부호 커널을 사용할 수 있도록 한다.
• 메쉬의 조밀도 기반의 커널 기반 해에 대한 확률적 오차 한계가 도출되었으며, 이는 근사해의 신뢰구간을 제공한다.
• 이 방법은 포아송 노이즈를 포함한 다양한 유형의 랜덤 노이즈를 갖는 타원형 SPDEs 시스템을 성공적으로 처리한다.
• 시간과 공간 포아송 노이즈를 갖는 2차 포물형 SPDEs의 해를 계산하기 위한 잘 구성된 알고리즘이 개발되었다.
• 2차원 수치 실험을 통해 소볼레프 스퍼인 및 컴팩트 지지 커널 모두에 대해 커널 기반 해의 근사 확률 분포가 잘 수렴하는 것으로 확인되었다.