[논문 리뷰] Solving High-Order Portfolios via Successive Convex Approximation Algorithms

Rui Zhou, Daniel P. Palomar|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 03.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비볼록성과 고차 모멘트의 높은 계산 비용으로 인해 발생하는 고차 포트폴리오 최적화 문제를 효율적으로 해결하기 위해 연속적인 볼록 근사(Sequential Convex Approximation, SCA) 기반 알고리즘 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 반복적으로 볼록 하위문제를 구성함으로써 비볼록 목적 함수를 근사하고, 낮은 계산 복잡도로 정류점에 수렴함을 보장하며, 고차원 포트폴리오에 대한 확장 가능한 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The first moment and second central moments of the portfolio return, a.k.a. mean and variance, have been widely employed to assess the expected profit and risk of the portfolio. Investors pursue higher mean and lower variance when designing the portfolios. The two moments can well describe the distribution of the portfolio return when it follows the Gaussian distribution. However, the real world distribution of assets return is usually asymmetric and heavy-tailed, which is far from being a Gaussian distribution. The asymmetry and the heavy-tailedness are characterized by the third and fourth central moments, i.e., skewness and kurtosis, respectively. Higher skewness and lower kurtosis are preferred to reduce the probability of extreme losses. However, incorporating high-order moments in the portfolio design is very difficult due to their non-convexity and rapidly increasing computational cost with the dimension. In this paper, we propose a very efficient and convergence-provable algorithm framework based on the successive convex approximation (SCA) algorithm to solve high-order portfolios. The efficiency of the proposed algorithm framework is demonstrated by the numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 비대칭적이고 꼬리가 두꺼운 실제 자산 수익률 분포를 잘 반영하지 못하는 평균-분산 프레임워크의 한계를 해결하기 위해.
• 왜도와 첨도를 포함한 고차 모멘트의 비볼록성으로 인해 발생하는 고차 포트폴리오 최적화의 계산 비용 문제를 해결하기 위해.
• 고차원 포트폴리오 최적화에 적용 가능한 확장성 있고 수렴성 있으며 효율적인 알고리즘 프레임워크를 개발하기 위해.
• 메타휴리스틱 또는 DC 기반 방법에 비해 느린 기존 방법을 대체하여, 빠르고 기울기 호환 가능한 SCA 기반 접근법을 통해 평균-분산-왜도-첨도(MVSK) 프레임워크의 실용적 적용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 포트폴리오 수익률의 제3 및 제4중심모멘트를 포함하는 비볼록 최적화 문제로 고차 포트폴리오 문제를 수식화한다.
• 비볼록 목적 함수를 반복적으로 볼록 하위문제로 근사하기 위해 연속적 볼록 근사(Successive Convex Approximation, SCA) 프레임워크를 적용한다.
• 비볼록 항목의 1차 테일러 전개를 사용하여 볼록 근사를 구성함으로써, 각 하위문제가 강한 볼록성을 가지며 표준 솔버로 해결 가능하도록 보장한다.
• 왜도 및 첨도 함수의 기울기와 헤시안 행렬에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 적절한 조건 하에서 SCA 알고리즘의 이론적 보장을 활용하여 정류점 수렴을 보장한다.
• 기존의 효율적인 볼록 최적화 솔버와 SCA 프레임워크를 통합함으로써 고차원 확장성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜도와 첨도를 포함한 고차 포트폴리오 최적화 문제를 해결하기 위한 수렴성과 효율성을 보장하는 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 고차 모멘트의 비볼록성은 어떻게 효과적으로 다루어져야 하며, 이를 통해 확장 가능한 포트폴리오 최적화가 가능해지는가?
• RQ3 제안된 SCA 기반 프레임워크의 계산 복잡도와 수렴 행동은 고차원 환경에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 기존의 메타휴리스틱 또는 DC 기반 방법에 비해 제안된 알고리즘의 성능과 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 SCA 프레임워크는 고차 포트폴리오 문제의 다른 수식화에 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SCA 기반 알고리즘 프레임워크는 비볼록 고차 포트폴리오 문제의 정류점으로 수렴함을 보장하여 이론적 신뢰성을 확보한다.
• 메타휴리스틱 접근법(예: 유전 알고리즘 또는 차분 진화)에 비해 훨씬 더 빠른 수렴 속도와 낮은 계산 비용을 달성한다.
• 알고리즘은 계산적으로 효율적이며 확장 가능하여, 기존 기울기 기반 방법이 복잡도로 인해 실패하는 고차원 포트폴리오 문제에 적합하다.
• 이론적 분석을 통해 헤시안 행렬의 스펙트럼 반경이 유계임을 확인하여, 주어진 조건 하에서 SCA 반복의 수렴성을 뒷받침한다.
• 수치 실험을 통해 알고리즘이 포트폴리오 구성에서 평균, 분산, 왜도, 첨도 간의 원하는 트레이드오프를 효과적으로 달성함을 입증한다.
• 이 프레임워크는 기울기 기반 및 제약 조건이 있는 최적화 문제를 포함한 다양한 MVSK 포트폴리오 수식화에 적용 가능하여 실용적 유연성을 향상시킨다.