[논문 리뷰] Solving Inequality-Constrained Binary Optimization Problems on Quantum Annealer

Kouki Yonaga, Masamichi J. Miyama외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 10.

Optimization and Search Problems인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 슬랙 변수를 사용하지 않고 불등식 제약 조건이 있는 이진 최적화 문제를 양자 앤날링 기반으로 해결하기 위해 교차 방향 승수법(ADMM)을 활용하는 새로운 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 제안한다. 이는 큐비트 오버헤드를 줄이는 데 기여한다. 특히 D-Wave 2000Q의 샘플링 모드를 사용할 경우 β=10.0로 설정할 때 정확도가 높고 계산 속도가 더 빠르며, 조밀한 이차 배낭 문제에 대해 정확한 솔버보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

We propose a new method for solving binary optimization problems under inequality constraints using a quantum annealer. To deal with inequality constraints, we often use slack variables, as in previous approaches. When we use slack variables, we usually conduct a binary expansion, which requires numerous physical qubits. Therefore, the problem of the current quantum annealer is limited to a small scale. In this study, we employ the alternating direction method of multipliers. This approach allows us to deal with various types using constraints in the current quantum annealer without slack variables. To test the performance of our algorithm, we use quadratic knapsack problems (QKPs). We compared the accuracy obtained by our method with a simulated annealer and the optimization and sampling mode of a D-Wave machine. As a result of our experiments, we found that the sampling mode shows the best accuracy. We also found that the computational time of our method is faster than that of the exact solver when we tackle various QKPs defined on dense graphs.

연구 동기 및 목표

• 현재의 양자 앤날링 기반 기계가 불등식 제약 조건이 있는 이진 최적화 문제를 다룰 때 겪는 확장성의 한계를 해결하기 위해.
• 슬랙 변수와 그 큐비트 집약적인 이진 전개 방식이 D-Wave 2000Q에서 문제 크기를 제한하는 데 기여하므로 이를 제거하기 위해.
• D-Wave 2000Q의 샘플링 능력을 활용하면서도 타당성과 정확성을 유지하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 개발하기 위해.
• 이중 배낭 문제(QKPs)에 대해 제안된 방법의 효과성을 입증하고, 정확한 솔버 및 시뮬레이티드 앤날링과의 성능을 비교하기 위해.

제안 방법

• 슬랙 변수를 도입하지 않고도 불등식 제약 조건을 페널티 비용 함수로 재구성하기 위해 보완 라그랑주 방법을 사용한다.
• 문제를 양자 앤날링과 고전 최적화로 풀 수 있는 부분 문제들로 분해하기 위해 교차 방향 승수법(ADMM)을 통합한다.
• ADMM 프레임워크는 이중 변수 갱신과 D-Wave 2000Q에서 QUBO 부분 문제를 최적화 모드 또는 샘플링 모드로 푸는 것을 번갈아 수행한다.
• 샘플링 모드에서 페널티 파라미터 β를 사용하며, 실험 결과 β=10.0이 최적의 성능을 내는 것으로 확인되었다.
• 큐비트 집약적인 매핑에 의존도를 줄이기 위해 논리 문제 구조를 그대로 이용함으로써 임베딩 오버헤드를 방지한다.
• 양자 샘플링과 고전 후처리를 조합하여 해를 복원하고 수렴을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현재의 양자 앤날링에서 슬랙 변수와 그 큐비트 집약적인 이진 전개 없이도 불등식 제약 조건이 있는 이진 최적화 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 제안된 ADMM 기반 하이브리드 알고리즘이 조밀한 이차 배낭 문제에 대해 정확한 솔버 및 시뮬레이티드 앤날링과 비교해 어떻게 성능을 내는가?
• RQ3 D-Wave 샘플링 모드에서 페널티 파라미터 β의 어떤 값이 제안된 방법의 최고 정확도를 내는가?
• RQ4 문제 크기와 결합 밀도가 증가함에 따라 제안된 방법의 계산 시간이 정확한 솔버보다 유리하게 증가하는가?
• RQ5 기존의 슬랙 변수 기반 접근 방식으로는 불가능한 대규모 문제에 대해 이 방법이 타당한 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• D-Wave 2000Q의 샘플링 모드에서 β=10.0로 설정한 경우, 모든 테스트 구성 중에서 가장 높은 해의 정확도를 기록했으며, 최적화 모드와 시뮬레이티드 앤날링을 모두 능가했다.
• 제안된 방법은 기존의 슬랙 변수 기반 접근 방식이 큐비트 제약으로 인해 처리할 수 없었던 대규모 이차 배낭 문제를 성공적으로 해결했다.
• 고결합 밀도(Δ=1.0) 문제에 대해 ADMM 기반 방법은 N=64일 때 정확한 Gurobi 최적화기보다 더 빠른 계산 시간을 기록했다.
• ADMM 방법의 총 계산 시간은 주로 샘플링과 복원 오버헤드에 의해 지배되며, 양자 앤날링 시간(t_QA)은 문제 크기와 관계없이 거의 일정했다.
• Gurobi 정확한 솔버를 기준으로 N=128 변수까지의 문제에서 타당한 해를 도출함으로써 확장 가능성 잠재력을 보였다.
• 평균 오차 ε_ave > 0.0을 기록하며, ADMM 반복 횟수나 샘플 수를 늘림으로써 향상 가능할 여지가 있음을 시사했다.