[논문 리뷰] Solving Linear Programs with Complementarity Constraints using Branch-and-Cut

Bin Yu, John E. Mitchell외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보완 제약 조건을 직접 분할하는 방식으로 보완 제약 조건을 가진 선형 프로그래밍 문제(LPCC)를 해결하기 위한 브랜치 앤 컷 알고리즘을 제시한다. 전문화된 컷과 타당성 복구 기법을 통합하여, MIP 수식에 비해 CPLEX를 능가한다. 25개의 인스턴스 중 23개를 3600초 이내에 해결하였으며, 특히 400개의 보완 제약 조건을 가진 문제에서 뛰어난 성능을 보였다. 100개 변수를 가진 인스턴스는 1분 이내에 해결하였다.

ABSTRACT

A linear program with linear complementarity constraints (LPCC) requires the minimization of a linear objective over a set of linear constraints together with additional linear complementarity constraints. This class has emerged as a modeling paradigm for a broad collection of problems, including bilevel programs, Stackelberg games, inverse quadratic programs, and problems involving equilibrium constraints. The presence of the complementarity constraints results in a nonconvex optimization problem. We develop a branch-and-cut algorithm to find a global optimum for this class of optimization problems, where we branch directly on complementarities. We develop branching rules and feasibility recovery procedures and demonstrate their computational effectiveness in a comparison with CPLEX. The implementation builds on CPLEX through the use of callback routines. The computational results show that our approach is a strong alternative to constructing an integer programming formulation using big-$M$ terms to represent bounds for variables, with testing conducted on general LPCCs as well as on instances generated from bilevel programs with convex quadratic lower level problems.

연구 동기 및 목표

• 보완 제약 조건을 가진 선형 프로그래밍 문제(LPCC)의 전역 최적해를 해결하는 것. 이는 비볼록이며 표준 솔버로는 어려운 문제이다.
• 빅-엠(M) MIP 재정의에 의존하지 않고 보완 제약 조건에 직접 분할하는 브랜치 앤 컷 프레임워크를 개발하는 것.
• 보완 구조에서 유도된 타당한 컷을 통해 선형 근사화를 강화하고, 타당성 복구 절차를 통합하여 해의 효율성을 향상시키는 것.
• 일반 LPCC 및 볼록 2차 하위 문제를 가진 이중선형 프로그램에 대해 CPLEX의 MIP 솔버에 비해 계산 성능에서 뛰어난 성능을 입증하는 것.
• 불가능성, 무한대, 유한 최적해를 인증할 수 있는 강력하고 전역 수렴 보장이 되는 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 빅-엠 수식을 피하는 방식으로 보완 제약 조건에 직접 분할하는 브랜치 앤 컷 프레임워크를 사용한다.
• 보완 구조에서 파생된 타당한 부등식을 통합하여 선형 근사화의 강도를 높인다.
• 분할 규칙은 각 보완 쌍에서 어느 변수가 0이 되는지에 따라 해의 공간을 분할하도록 설계된다.
• 브랜치 앤 바운드 과정 중 해의 품질을 향상시키기 위해 타당성 복구 절차를 통합한다.
• 사용자 정의 컷과 분할 논리를 통합하기 위해 CPLEX의 콜백 루틴을 활용한다.
• 이 접근법은 일반 LPCC 및 볼록 2차 하위 문제를 가진 이중선형 프로그램의 인스턴스에서 테스트되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보완 제약 조건에 직접 분할하는 브랜치 앤 컷 알고리즘이 LPCC 문제에서 표준 MIP 솔버인 CPLEX를 능가할 수 있는가?
• RQ2 보완 제약 조건에서 유도된 타당한 부등식 중에서 LPCC의 선형 근사화를 가장 효과적으로 강화하는 유형은 무엇인가?
• RQ3 특화된 분할 규칙과 타당성 복구 절차는 LPCC 문제의 해 시간을 줄이는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ4 이 알고리즘은 수백 개의 보완 제약 조건을 가진 대규모 LPCC 문제를 실용적인 시간 제한 내에서 안정적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 직접 분할 접근 방식은 빅-엠 MIP 수식에서 발생하는 수치적 불안정성과 약한 하한값을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 브랜치 앤 컷 알고리즘은 25개 테스트 인스턴스 중 23개를 3600초 이내에 해결하였으며, CPLEX는 18개를 해결하였다.
• 알고리즘은 25개 인스턴스 중 20개를 360초 이내에 해결하였고, CPLEX는 같은 시간 창 내에서 단 6개만 해결하였다.
• CPLEX가 성능이 뛰어난 유일한 인스턴스는 하나뿐이었으며, 이는 신규 방법의 일관된 우월성을 시사한다.
• 알고리즘은 최대 400개의 보완 제약 조건을 가진 인스턴스를 성공적으로 해결하여 확장성을 입증하였다.
• 100개의 보완 제약 조건을 가진 인스턴스에서는 1분 이내에 해를 도출하여 중규모 문제에 대한 효율성을 입증하였다.
• 성능 프로파일은 알고리즘이 특히 해 시간의 하단부에서 CPLEX를 지속적으로 능가함을 보여준다.