[논문 리뷰] Solving Multi-Coloring Combinatorial Optimization Problems Using Hybrid Quantum Algorithms

Young-Hyun Oh, Hamed Mohammadbagherpoor외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 37인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 변량 양자 고유값 해법(Variational Quantum Eigensolver, VQE)과 양자 근사 최적화 알고리즘(Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA)을 활용한 하이브리드 양자-고전적 접근법을 제안하여 NP-난이도의 다색 조합 최적화 문제를 해결한다. 그래프 색칠 문제를 이징 해밀토니안으로 매핑함으로써, 매개변수화된 양자 회로를 통해 양자 중첩과 얽힘을 활용하여 NISQ 장치에서 다항식 시간 내에 최적 해를 도출하며, 항공기 스케줄링과 주파수 할당을 포함한 세 가지 실제 응용 분야에서 성공적으로 검증되었다.

ABSTRACT

The design of a good algorithm to solve NP-hard combinatorial approximation problems requires specific domain knowledge about the problems and often needs a trial-and-error problem solving approach. Graph coloring is one of the essential fields to provide an efficient solution for combinatorial applications such as flight scheduling, frequency allocation in networking, and register allocation. In particular, some optimization algorithms have been proposed to solve the multi-coloring graph problems but most of the cases a simple searching method would be the best approach to find an optimal solution for graph coloring problems. However, this naive approach can increase the computation cost exponentially as the graph size and the number of colors increase. To mitigate such intolerable overhead, we investigate the methods to take the advantages of quantum computing properties to find a solution for multi-coloring graph problems in polynomial time. We utilize the variational quantum eigensolver (VQE) technique and quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to find solutions for three combinatorial applications by both transferring each problem model to the corresponding Ising model and by using the calculated Hamiltonian matrices. Our results demonstrate that VQE and QAOA algorithms can find one of the best solutions for each application. Therefore, our modeling approach with hybrid quantum algorithms can be applicable for combinatorial problems in various fields to find an optimal solution in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 그래프 크기가 증가함에 따라 고전적 방법으로 NP-난이도의 다색 조합 최적화 문제를 해결하는 데 발생하는 지수적 계산 비용을 해결한다.
• 근접한 노이즈가 있는 중간 규모 양자(NISQ) 장치를 활용하여 항공기 스케줄링 및 주파수 할당과 같은 실제 응용 분야의 해를 가속화한다.
• 제약 조건이 있는 그래프 색칠 문제를 체계적으로 이징 해밀토니안 형식으로 변환할 수 있는 프레임워크를 개발한다.
• 특히 VQE와 QAOA를 포함한 하이브리드 양자-고전적 알고리즘이 다색 문제의 최적 해를 찾는 데 효과적인지 입증한다.
• 현재의 양자 하드웨어와 시뮬레이터에서의 확장성과 신뢰성을 입증하기 위해 세 가지 실용적 사례 연구를 통해 접근 방식을 검증한다.

제안 방법

• 경우의 수 제약 조건이 있는 이진 제곱 최적화 문제로 다색 조합 문제를 수식화한다.
• 문제에 특화된 목적 함수와 제약 조건 페널티를 사용하여 최적화 문제를 이징 해밀토니안으로 매핑한다.
• 초기 양자 상태를 준비하고, 매개변수화된 유니터리 연산자를 통해 상태를 진화시키며, 에너지 기댓값을 측정하여 최소화함으로써 변량 양자 고유값 해법(VQE)을 구현한다.
• 매개변수 $\gamma$와 $\beta$로 매개변수화된 $U_c(\gamma)$ 및 $U_B(\beta)$ 계층을 번갈아가며 적용하여 이징 해밀토니안의 기저 상태를 근사하는 데 QAOA를 적용한다.
• 클래식 최적화 기법(예: COBYLA)을 사용하여 해밀토니안 기댓값을 최소화하도록 반복적으로 변량 매개변수 $\gamma$와 $\beta$를 업데이트한다.
• QAOA 회로를 $O(n^2p)$개의 단일 큐비트 회전 게이트와 $O(n^2p)$개의 CNOT 게이트를 사용하여 구성한다. 여기서 $n$은 큐비트 수이고 $p$는 회로 깊이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VQE와 QAOA와 같은 하이브리드 양자 알고리즘이 고전 컴퓨터에서 NP-난이도인 다색 조합 최적화 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 회로 깊이 $p$가 증가함에 따라 QAOA 알고리즘이 그래프 색칠 문제에서 유도된 이징 해밀토니안의 기저 상태를 얼마나 잘 근사하는가?
• RQ3 VQE와 QAOA 프레임워크는 다색 문제의 경우에 대해 고전적 정확하거나 휴리스틱 솔버에 비해 계산 시간을 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ4 제안된 이징 모델 변환 방식은 경계 노드가 서로 다른 색을 가져야 한다는 같은 하드 제약 조건을 해밀토니안 형식에 신뢰성 있게 코딩할 수 있는가?
• RQ5 항공기 스케줄링, 주파수 할당, 레지스터 할당과 같은 실제 응용 분야에서 하이브리드 접근 방식의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• COBYLA 최적화 기법을 사용한 QAOA 알고리즘은 모든 세 사례 연구에서 최적 해로 수렴하여 강건성과 신뢰성을 입증했다.
• 각 사례 연구에서 QAOA 알고리즘은 표 4에 제시된 해 벡터를 통해 정확한 최적 색 할당을 도출하였으며, 각 노드가 충돌 없이 유일한 색을 할당받았다.
• VQE와 QAOA 접근 방식은 다항식 시간 내에 최적 해를 달성하여, 대규모 그래프에 대해 고전적 방법이 일반적으로 보이는 지수적 시간 복잡도를 크게 감소시켰다.
• 회로 깊이 $p$가 증가함에 따라 QAOA 알고리즘의 근사 비율이 향상되었으며, $p \to \infty$의 극한에서 이징 해밀토니안의 정확한 기저 상태로 수렴한다.
• 하이브리드 접근 방식은 항공기 스케줄링, 주파수 할당, 레지스터 할당을 포함한 실제 응용을 모두 이징 모델로 성공적으로 매핑하여 양자 시뮬레이터와 NISQ 장치에서 해결 가능하게 하였다.
• 실행 결과는 VQE와 QAOA가 복잡한 다색 문제를 효과적으로 해결할 수 있음을 확인하였으며, QAOA는 보장된 근사 품질과 최적 해로의 수렴성을 제공한다.