[논문 리뷰] Solving nth order fuzzy differential equation by fuzzy Laplace transform

Latif Ahmad, Muhammad Shoaib Farooq외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 02.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 강한 일반화 미분 가능성을 사용하여 고차수 퍼지 초기값문제(FIVPs)를 해결하기 위해 퍼지 라플라스 변환(FLT)을 일반화한다. FLT에 대한 n차 미분 정리와 함께, 라플라스 역변환을 통한 해석적 해를 도출할 수 있도록 하며, MATLAB을 사용한 예제를 통해 일반화된 미분 가능성 하에서 임의의 차수의 퍼지 미분방정식에 대한 이 방법의 효과성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we generalize the fuzzy Laplace transformation (FLT) for the nth derivative of a fuzzy-valued function named as nth derivative theorem and under the strongly generalized differentiability concept, we use it in an analytical solution method for the solution of an nth order fuzzy initial value problem (FIVP). This is a simple approach toward the solution of nth order fuzzy initial value problem (FIVP) by the nth generalized (FLT) form, and then we can use it to solve any order of FIVP. The related theorems and properties are proved. The method is illustrated with the help of some examples. We use MATLAB to evaluate the inverse Laplace transform.

연구 동기 및 목표

• 고차수 퍼지 미분방정식을 해결하기 위해 퍼지 라플라스 변환(FLT)을 퍼지 값 함수의 n차 미분으로 확장하는 것.
• 강한 일반화 가능성을 기반으로 한 체계적인 해석적 방법을 도입하여 고차수 퍼지 초기값문제(FIVPs)를 해결하는 것.
• FLT에 대한 n차 미분 정리와 관련 성질을 증명하여 이론적 일관성과 적용 가능성을 확보하는 것.
• MATLAB의 역라플라스 변환 기능을 사용하여 수치 예제를 풀어 방법의 효과성을 입증하는 것.
• 강한 일반화 가능성을 만족하는 임의의 차수의 FIVP에 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 퍼지 라플라스 변환에 대한 n차 미분 정리를 도입하여, FLT가 퍼지 값 함수의 n차 미분을 다룰 수 있도록 확장한다.
• 퍼지 함수의 도함수를 정의하기 위해 일반화된 후쿠하라 미분 가능성을 적용하여, FIVPs에서 다수의 해 분기 가능성을 허용한다.
• n차 미분 정리를 사용하여 고차수 FIVP를 라플라스 도메인에서 대수 방정식으로 변환한다.
• 퍼지 함수의 하한 및 상한 α-컷에 대해 변환된 대수 방정식을 풀어 해를 구한다.
• 시간 도메인의 퍼지 해를 매개변수 형태로 복원하기 위해 MATLAB을 사용하여 역라플라스 변환을 계산한다.
• 해결 과정에서 (1)- 및 (2)-미분 가능성의 경우를 구분하여 각각 다른 대수 형태의 변환 방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼지 라플라스 변환은 퍼지 값 함수의 n차 미분을 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 강한 일반화 가능성을 기반으로 한 FLT의 n차 미분 정리는 어떻게 구성되고 증명될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 FLT를 사용하여 고차수 퍼지 초기값문제의 해석적 해법은 무엇인가?
• RQ4 미분 가능성 유형(1- 또는 2-미분 가능성)의 선택이 FIVP의 해 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법은 일관되고 체계적인 프레임워크를 기반으로 하여 임의의 차수의 FIVP를 해결하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 퍼지 라플라스 변환을 n차 미분으로 일반화하여, 퍼지 값 함수에 대한 새로운 n차 미분 정리를 수립하였다.
• 이 방법은 문제를 라플라스 도메인의 대수 방정식으로 변환함으로써 고차수 FIVPs의 해석적 해를 가능하게 한다.
• 4차 FIVP의 경우, 삼각함수, 지수함수, 하이퍼볼릭 함수를 포함하는 매개변수 형태의 해 $\underline{y}(t,r)$ 및 $\overline{y}(t,r)$ 가 유도되었다.
• 역라플라스 변환은 MATLAB을 사용하여 계산되어, 복잡한 퍼지 해에 대한 수치 구현 가능성을 확인하였다.
• (1)- 및 (2)-미분 가능성의 경우에 따라 해 구조가 달라지며, 각각에 대해 별도의 대수 형태가 유도되었다.
• 다양한 예제를 통해 방법의 타당성과 일관성, 다양한 차수 및 미분 가능성 유형에 대한 적용 가능성이 입증되었다.