[논문 리뷰] Solving Optical Tomography with Deep Learning

Yuwei Fan, Lexing Ying|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 10.

Optical Imaging and Spectroscopy Techniques참고 문헌 61인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2차원 광학 단층촬영에서 복사 전달 방정식에 의해 지배되는 정방 및 역방 문제를 해결하기 위해 컨volution 신경망(CNN)을 사용하는 딥러닝 프레임워크를 제안한다. 선형화 분석을 활용하여 정방 맵을 컨볼루션 연산자로 근사함으로써, 노이즈가 존재하는 상황에서도 다양한 포함 구조에 대해 일반화 가능하며, 경계 측정치로부터 산란 계수의 고정밀 재구성을 달성한다.

ABSTRACT

This paper presents a neural network approach for solving two-dimensional optical tomography (OT) problems based on the radiative transfer equation. The mathematical problem of OT is to recover the optical properties of an object based on the albedo operator that is accessible from boundary measurements. Both the forward map from the optical properties to the albedo operator and the inverse map are high-dimensional and nonlinear. For the circular tomography geometry, a perturbative analysis shows that the forward map can be approximated by a vectorized convolution operator in the angular direction. Motivated by this, we propose effective neural network architectures for the forward and inverse maps based on convolution layers, with weights learned from training datasets. Numerical results demonstrate the efficiency of the proposed neural networks.

연구 동기 및 목표

• 복사 전달 방정식에 의해 지배되는 역광학 단층촬영 문제를 해결하는 데서 발생하는 계산 및 수치적 과제를 해결한다.
• 기존의 역문제 해법에서 내재된 약한 정의성과 노이즈에 대한 민감성 문제를 극복한다.
• 광학적 성질과 경계 측정치 사이의 고차원적 비선형 정방 및 역방 맵을 효율적으로 근사하는 데이터 기반 신경망 아키텍처를 개발한다.
• 단일 신경망을 한 번 훈련시킴으로써 반복적인 PDE 해법 없이도 정방 및 역방 문제에 대한 빠른 추론을 가능하게 한다.
• 훈련 중에 관측하지 못한 포함 수가 다른 테스트 케이스에 대해도 훈련된 네트워크의 일반화 성능을 입증한다.

제안 방법

• 2차원에서 등방성 Henyey-Greenstein 산란을 고려한 복사 전달 방정식을 기반으로, 산란 계수 μ와 알보도 연산자 커널 λ 사이의 맵핑으로 광학 단층촬영 문제를 수식화한다.
• 선형화 분석을 적용하여 선형화된 정방 맵이 각도 방향에서 벡터화된 컨볼루션으로 근사될 수 있음을 보이며, 이를 바탕으로 CNN 기반 아키텍처를 설계한다.
• 산란 계수 μ → 알보도 연산자 커널 λ 및 반대로 알보도 연산자 커널 λ → 산란 계수 μ 를 근사하기 위해 학습 가능한 가중치를 갖는 컨volution 신경망(CNN)을 설계하며, PDE 해법을 통해 생성한 합성 훈련 데이터를 사용한다.
• 예측된 μ와 진짜 μ 간의 L2 오차를 최소화하는 손실 함수를 사용하여, 산란 계수와 해당 알보도 연산자 커널의 쌍 데이터를 기반으로 네트워크를 엔드 투 엔드로 훈련한다.
• 각도적으로 통합된 경계 측정치를 캡슐화하기 위해 다중 채널 입력 표현 방식을 도입하여, 네트워크가 산란 분포의 방향성 및 공간적 특징을 학습할 수 있도록 한다.
• 이중 단계 훈련 및 추론 파이프라인을 구현한다: 먼저 N_e개의 포함체를 가진 데이터(예: N_e = 2)로 네트워크를 훈련한 후, 미리 보지 못한 구성(예: N_e = 4)에서 테스트하여 일반화 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복사 전달 방정식에 의해 지배되는 광학 단층촬영에서 고차원적 비선형 정방 및 역방 맵을 효과적으로 근사할 수 있는 딥 뉴럴 네트워크가 가능한가?
• RQ2 정방 맵을 컨볼루션 연산자로 근사할 수 있는 선형화 분석에 기반한 CNN 아키텍처가 기존 방법 대비 정확도 및 효율성에서 향상되는가?
• RQ3 알보도 연산자 커널의 측정 노이즈에 대해 훈련된 신경망의 성능은 얼마나 강건한가?
• RQ4 훈련 중에 관측하지 못한 포함 수가 다른 테스트 케이스(예: 2개 대신 4개)에 대해 훈련된 네트워크가 일반화 가능한가?
• RQ5 신경망이 역문제 해법에서 명시적인 정규화 항이 필요 없이도 암묵적으로 정규화를 학습할 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 노이즈가 없는 경우(노이즈 수준 δ = 0%), 제안된 신경망은 산란 계수 μ를 거의 완벽하게 재구성하며, 상대적 L2 오차는 약 0.001% 수준이다.
• 5% 노이즈 수준에서조차도 μ의 주요 특징을 잘 복원하며, 상대적 L2 오차는 1.5% 이하를 유지한다. 뿌연 이미지 상태이지만 형태의 위치와 방향성은 정확하게 유지된다.
• 네트워크의 일반화 성능이 뛰어나, 두 개의 포함체(N_e = 2)로 훈련된 경우 네트워크는 네 개의 포함체(N_e = 4)를 포함한 케이스도 정확히 재구성할 수 있으며, 반대로도 마찬가지로 성능을 보여 구조적 변동에 강건함을 입증한다.
• 훈련 후 높은 추론 속도를 달성하여 반복적인 PDE 해법 없이 단일 패assing 예측이 가능하며, 기존의 최적화 기반 방법 대비 빠른 성능을 보인다.
• 노이즈에 대해 안정적인 성능을 보이며, 노이즈가 증가함에 따라 점진적으로 재구성 품질이 떨어지지만, δ = 5%에서도 구조적 정밀도를 유지한다.
• 네트워크의 컨볼루션 구조를 정당화하는 선형화 분석은 수치적으로 검증되었으며, 선형화된 정방 맵이 각도 변수에서 1차원 컨볼루션으로 잘 근사됨을 보여준다.