[논문 리뷰] Solving optimal control problems governed by random Navier-Stokes equations using low-rank methods

Peter Benner, Sergey Dolgov외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 17.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 나비에-스토크스 방정식에 대한 난류 입력을 가진 최적 제어 문제를 해결하기 위해 저질서 텐서 트레이스(TT) 방법을 제안한다. 이는 확률적 갈레르킨 유한요소 방법에서 발생하는 차원의 극복 문제를 피하는 데 목적이 있다. 해와 선형 시스템을 저질서 형식으로 표현하고, 저질서 조절 조건을 갖춘 교대 반복 해법을 사용함으로써, 분포형 및 경계 제어 모두에서 정확도를 유지하면서 계산 복잡도를 최대 9개 지수 정도 감소시킨다.

ABSTRACT

Many problems in computational science and engineering are simultaneously characterized by the following challenging issues: uncertainty, nonlinearity, nonstationarity and high dimensionality. Existing numerical techniques for such models would typically require considerable computational and storage resources. This is the case, for instance, for an optimization problem governed by time-dependent Navier-Stokes equations with uncertain inputs. In particular, the stochastic Galerkin finite element method often leads to a prohibitively high dimensional saddle-point system with tensor product structure. In this paper, we approximate the solution by the low-rank Tensor Train decomposition, and present a numerically efficient algorithm to solve the optimality equations directly in the low-rank representation. We show that the solution of the vorticity minimization problem with a distributed control admits a representation with ranks that depend modestly on model and discretization parameters even for high Reynolds numbers. For lower Reynolds numbers this is also the case for a boundary control. This opens the way for a reduced-order modeling of the stochastic optimal flow control with a moderate cost at all stages.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 비선형이고 확률적인 나비에-스토크스 방정식에 의해 지배되는 최적 제어 문제를 해결하는 데 있어 계산상의 비현실성 문제를 해결한다.
• 텐서의 구조를 지닌 극도로 큰 스타디-포인트 시스템을 생성하는 확률적 갈레르킨 유한요소 방법에서 발생하는 차원의 극복 문제를 극복한다.
• 저질서 텐서의 구조를 활용하여 표준 데스크톱 하드웨어에서도 확률적 최적 유량 제어를 효율적으로 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• 완전한 행렬 조립 없이도 저질서 텐서 트레이스 형식에서 직접 작동하는 수치적으로 효율적인 반복 해법을 개발한다.
• 레이놀즈 수, 확률적 매개변수 차원, 제어 유형(분포형 및 경계형)이 다양할 경우에도 방법의 강건성을 입증한다.

제안 방법

• PDE 제약 최적화 문제를 이산화하기 위해 확률적 갈레르킨 유한요소 방법(SGFEM)을 사용하여 고차원의 스타디-포인트 시스템을 도출한다.
• 해와 선형 연산자를 저질서 텐서 트레이스(TT) 형식으로 표현하여 전체 텐서 곱의 구조를 압축한다.
• 해의 TT 성분을 순차적으로 해결하는 교대 방향 최소화 알고리즘을 개발하여 스타디-포인트의 구조를 유지한다.
• 스체르 여유 근사 기반의 저질서 조절 조건자를 구성하며, 이는 TT 구조와 나비에-스토크스 방정식의 비선형성에 맞게 설계된다.
• 각 뉴턴 단계에서 최적성 조건계를 선형화하고, 계층적 행렬 압축을 사용하여 저질서 형식으로 자이아르디언을 조립한다.
• 비선형성을 다루기 위해 피카르 반복을 적용하며, 저질서 구조를 유지하기 위해 TT 랭크를 동적으로 모니터링하고 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저질서 텐서 방법은 시간에 따라 변화하는 나비에-스토크스 방정식에 의해 지배되는 확률적 최적 제어 문제의 계산 비용과 저장 비용을 효과적으로 줄일 수 있는가?
• RQ2 분포형 및 경계형 제어 설정에서 레이놀즈 수, 확률적 차원, 시간 이산화에 따라 해의 TT 랭크는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 최적성 조건계의 스타디-포인트 구조가 저질서 프레임워크 내에서 얼마나 잘 유지되고 활용될 수 있는가?
• RQ4 저질서 반복 해법의 성능은 전체 랭크 해법 대비 정확도 및 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 고차원 확률 문제에서 복잡도를 최대 9개 지수 정도 감소시킬 수 있으며, 이로 인해 정확도를 유지하면서 대규모 확률적 최적 제어가 표준 데스크톱 시스템에서 가능해지는가?

주요 결과

• 비틀림 최소화 문제의 해는 모델 및 이산화 파라미터가 증가하더라도 랭크가 크게 증가하지 않는 저질서 표현을 지닌다. 이는 고레이놀즈 수 조건에서도 마찬가지이다.
• 분포형 제어의 경우 최대 TT 랭크는 유한하며, CPU 시간은 확률적 매개변수 수에 대해 부분선형적으로 증가하여 효율적인 계산이 가능하다.
• 경계형 제어의 경우 TT 랭크와 CPU 시간이 확률적 차원 증가에 따라 포화 상태에 도달하며, 이는 안정적이고 예측 가능한 복잡도 증가를 나타낸다.
• 전체 랭크 SGFEM 대비 계산 복잡도를 최대 9개 지수 정도 감소시켜, 표준 데스크톱 시스템에서 대규모 확률적 최적 제어를 실현 가능하게 한다.
• 대부분의 경우 피카르 반복 수는 10 이내로 유지되며, 몇몇 예외를 제외하고는 비선형 해법의 수렴 성능이 양호함을 보여준다.
• 정적 경계 제어 문제의 경우 시간에 따라 변화하는 경우에 비해 TT 랭크와 계산 시간이 크게 감소함을 확인하여, TT 형식에서 시간 적분을 피하는 것이 유리함을 입증한다.