[논문 리뷰] Solving quasi-free and quadratic Lindblad master equations for open fermionic and bosonic systems

Thomas Barthel, Yikang Zhang|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 15.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 래더 수퍼연산자(제3의 양자화)를 사용하여 개방된 페르미온 및 보존계에서 준자유 및 이차 리드블라드 마스터 방정식을 통합적으로 해결하는 프레임워크를 제시한다. 공분산 행렬과 그린 함수에 대한 닫힌 운동 방정식을 유도하고, 준자유 시스템에 대해 리우빌리안을 조르당 표준형으로 변환하며, 안정 상태 존재 및 안정성 기준을 수립한다. 특히 보존계에서는 리아프노프 방정식 해의 불안정성으로 인해 안정 상태가 존재하지 않을 수 있음을 강조한다.

ABSTRACT

The dynamics of Markovian open quantum systems are described by Lindblad master equations. For fermionic and bosonic systems that are quasi-free, i.e., with Hamiltonians that are quadratic in the ladder operators and Lindblad operators that are linear in the ladder operators, we derive the equation of motion for the covariance matrix. This determines the evolution of Gaussian initial states and the steady states, which are also Gaussian. Using ladder super-operators (a.k.a. third quantization), we show how the Liouvillian can be transformed to a many-body Jordan normal form which also reveals the full many-body spectrum. Extending previous work by Prosen and Seligman, we treat fermionic and bosonic systems on equal footing with Majorana operators, shorten and complete some derivations, also address the odd-parity sector for fermions, give a criterion for the existence of bosonic steady states, cover non-diagonalizable Liouvillians also for bosons, and include quadratic systems. In extension of the quasi-free open systems, quadratic open systems comprise additional Hermitian Lindblad operators that are quadratic in the ladder operators. While Gaussian states may then evolve into non-Gaussian states, the Liouvillian can still be transformed to a useful block-triangular form, and the equations of motion for $k$-point Green's functions form a closed hierarchy. Based on this formalism, results on criticality and dissipative phase transitions in such models are discussed in a companion paper [arXiv:2204.05346].

연구 동기 및 목표

• 이차 해밀토니안과 선형 또는 이차 리드블라드 연산자를 갖는 마코프형 개방 양자계를 체계적으로 해결하기 위한 접근법을 개발한다.
• 메이저라나 연산자와 실수 구조 행렬을 사용하여 페르미온 및 보존계의 처리를 통합한다.
• 안정 상태 존재 조건과 시스템 안정성, 특히 안정 상태가 존재하지 않을 수 있는 보존계의 경우를 포함하여 기준을 수립한다.
• 프로센과 세리갈만의 이전 작업을 확장하여 비대각화 가능한 리우빌리안, 홀수 페르미온 대칭 섹터, 이차 리드블라드 연산자를 포함한다.
• 다음 논문에서 자세히 다루는 바와 같이, 이차 개방계에서의 임계성과 소산적 상전이를 연구하기 위한 기초를 제공한다.

제안 방법

• 메이저라나 연산자를 사용하여 페르미온 및 보존계 모두에 대해 실수 구조 행렬을 이용한 공분산 행렬의 운동 방정식을 도출한다.
• 리우빌리안을 압축된 형태로 표현하고 슈퍼페르미온 수의 양자수를 유지하는 데 사용되는 래더 수퍼연산자(제3의 양자화)를 도입한다.
• 표준 변환을 통해 리우빌리안을 다체 조르당 표준형으로 변환하여 전체 다체 스펙트럼을 드러낸다.
• 지속 상태 공분산 행렬을 결정하고 물리성 여부를 심플렉틱 고유값을 통해 평가하기 위해 연속 리아프노프 방정식을 적용한다.
• 이차 시스템의 경우 k-점 그린 함수의 계층을 닫히게 하기 위해 블록 삼각형 형태를 사용한다.
• 리아프노프 방정식의 해에 대한 물리성(심플렉틱 고유값 ≥ 1/2) 기반으로 보존계의 안정 상태 존재 조건을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준자유 및 이차 개방 페르미온 및 보존계가 안정 상태를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에 대해 리우빌리안 수퍼연산자가 체계적으로 대각화되거나 조르당 표준형으로 변환되는 방법은 무엇인가?
• RQ3 이러한 개방 양자계의 안정성과 회복 동역학은 무엇에 의해 결정되며, 특히 보존계의 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 이차 리드블라드 연산자의 포함이 상관관계 계층의 구조와 가우시안 상태 진화 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 연속 리아프노프 방정식은 보존계에서 안정 상태의 존재성과 물리성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 준자유 시스템의 경우, 리우빌리안은 이중수반 기저에서 삼각형 형태로 변환되어 전체 다체 스펙트럼을 드러내며, 이는 동역학의 정확한 해를 가능하게 한다.
• 페르미온계는 리우빌리안 스펙트럼이 물리적 진공 상태의 존재를 보장하므로 항상 최소한 하나의 안정 상태를 갖는다.
• 보존계는 연속 리아프노프 방정식의 해가 심플렉틱 고유값이 물리적 범위 [1/2, ∞)를 벗어나는 공분산 행렬을 유도할 경우 안정 상태가 존재하지 않을 수 있다. 이는 Γ∞ = -1/2인 단일 모드 예제에서 확인되었다.
• 보존계에서 물리적 안정 상태의 존재는 리아프노프 방정식의 해가 심플렉틱 고유값 ≥ 1/2인 정정의 해를 갖는 것과 동치이다.
• 구조 행렬 X₀의 모든 고유값의 실수부가 비양수일 경우, 보존계의 준자유 시스템의 안정성은 보장되며, 이는 리아프노프 방정식과 해의 양성으로 증명된다.
• 이차 시스템의 경우, k-점 그린 함수의 계층이 닫혀 있어, 가우시안성의 붕괴가 발생하더라도 비가우시안 동역학을 효율적으로 계산할 수 있다.