[논문 리뷰] Solving Stochastic Inverse Problems using Sigma-Algebras on Contour Maps

Troy Butler, D. Estep외 4명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 15.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 관측된 양의 수가 모델의 매개변수 수보다 적은 미분방정식 모델에서의 확률적 역문제를 비침습적이고 측도 이론 기반으로 해결하는 방법을 제안한다. 매개변수에서 관심 있는 양으로의 사상에 의해 유도된 등고선도에 대한 시그마-대칭을 활용하여, 무작위 표본 추출과 확률 기하학을 통해 수렴성과 계산 가능성을 보장하는 사후 확률 측도의 근사치를 구성한다. 이는 증명된 오차 추정과 유체 흐름 시뮬레이션에서의 수렴성을 보여준다.

ABSTRACT

We compute approximate solutions to inverse problems for determining parameters in differential equation models with stochastic data on output quantities. The formulation of the problem and modeling framework define a solution as a probability measure on the parameter domain for a given $σ-$algebra. In the case where the number of output quantities is less than the number of parameters, the inverse of the map from parameters to data defines a type of generalized contour map. The approximate contour maps define a geometric structure on events in the $σ-$algebra for the parameter domain. We develop and analyze an inherently non-intrusive method of sampling the parameter domain and events in the given $σ-$algebra to approximate the probability measure. We use results from stochastic geometry for point processes to prove convergence of a random sample based approximation method. We define a numerical $σ-$algebra on which we compute probabilities and derive computable estimates for the error in the probability measure. We present numerical results to illustrate the various sources of error for a model of fluid flow past a cylinder.

연구 동기 및 목표

• 관측된 관심 있는 양(QoI)의 수가 모델의 매개변수 수보다 적을 때 발생하는 불안정한 역문제를 해결하기 위해.
• 역사상에서 유도된 기하학적 구조를 활용하여 매개변수 도메인에서의 해 확률 측도를 근사하는 비침입적 표본 추출 방법을 개발하기 위해.
• 계산 가능한 시그마-대칭을 정의하고 사후 확률 측도 근사치에 대한 계산 가능한 오차 추정을 유도하기 위해.
• 집합값을 갖는 역사상에서 기하학적 정보를 유지하기 위해, 측도 이론 프레임워크 내에서 일반화된 등고선도를 사용하기 위해.
• 실린더 주변의 유체 흐름 모델에서의 수치 실험을 통해 방법의 수렴성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 측도 이론 프레임워크 내에서 확률적 역문제를 수립하여, 매개변수 도메인에서의 유일한 확률 측도로 해를 정의한다. 이는 시그마-대칭에 대해 정의된다.
• 분해 정리(Disintegration Theorem)와 등고선 사건에 대한 가정을 사용하여 원래 시그마-대칭 내에서 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 출력 간격의 전이상(preimages)에 기반한 매개변수 도메인의 분할을 통해 라돈-니코딤 도함수(밀도)의 단순 함수 근사치를 구성한다.
• 매개변수 도메인에서의 무작위 표본 추출을 통해 등고선 시그마-대칭과 원래 시그마-대칭에 대한 근사 집합을 암묵적으로 정의한다.
• 확률 기하학의 결과를 적용하여, 약한 정규성 가정 하에 무작위 표본 기반 근사 방법의 수렴성을 증명한다.
• 수치적 시그마-대칭을 정의하고 진짜 확률과 근사 확률 간의 이질성(discrepancy)를 경계함으로써 확률 측도 근사치에 대한 계산 가능한 오차 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측된 QoI의 수가 매개변수 수보다 적을 때, 매개변수 도메인에 대해 고유한 확률 측도를 어떻게 구성할 수 있는가? 이는 불안정한 역문제로 이어진다.
• RQ2 관심 있는 양의 사상에서 유도된 일반화된 등고선도에 대한 시그마-대칭을 사용할 때, 매개변수 공간 내 어떤 기하학적 구조가 유지되는가?
• RQ3 해의 매개변수 가정 없이도, 비침입적 표본 추출 방법이 진짜 사후 측도로 수렴할 수 있는가?
• RQ4 수치적 시그마-대칭 위에서 무작위 표본 추출을 사용하여 사후 확률 측도 근사치에 대해 엄밀한 오차 경계를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 기하학적으로 다를 수 있는 여러 QoI를 조합함으로써 고차원 매개변수 공간에서 사후 확률의 국소화가 어떻게 향상되는가?

주요 결과

• 해는 등고선 시그마-대칭 내에서 존재하고 유일하며, 이 유일성은 분해 정리에 의해 원래 매개변수 시그마-대칭으로까지 확장된다.
• 무작위 표본 추출을 통한 확률 측도 근사치의 수렴성이 달성되며, 이는 확률 기하학과 르베그 수렴 정리에 의해 증명된다.
• 유체 흐름 예제에서 $Q = Q_1 + Q_2$의 공동 출력 밀도를 역행함으로써 15개 매개변수 중 5개에 대해 양호한 추정치를 제공하였으며, 단일 QoI 역행보다 우수한 성능을 보였다.
• $(eta, eta)$ 및 $(eta, I_0)$와 같은 매개변수 쌍의 주변 분포는 비균일한 행동을 보였으며, 이는 민감도를 나타내었고, 대부분의 다른 쌍은 낮은 민감도로 인해 약간 균일한 경향을 보였다.
• 이론적 분석에 예측된 바와 같이, 기하학적으로 다를 수 있는 QoI를 통합함으로써 사후 확률이 체적 감소하는 영역으로 성공적으로 국소화되었다.
• 확률 측도 근사치에 대한 오차 추정은 수치적 시그마-대칭의 구성과 베론로 셀 근사치 분석을 통해 계산 가능하고 도출되었다.