[논문 리뷰] Solving the Eikonal equation for compressional and shear waves in anisotropic media using peridynamic differential operator

Ali Can Bekar, Erdogan Madenci외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 02.

Numerical methods in engineering참고 문헌 43인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 속도장, 급격한 이방성, 비정규 지형 조건에서도 안정적이고 정확한 P-파 및 S-파 진행시간을 계산할 수 있도록, 비국소적 형태의 페리다이내크믹스 미분 연산자(PDDO)를 사용하여 이소트ropic 매질에서 Eikonal 방정식을 해결하는 새로운 수치적 방법을 제안한다. PDDO는 방향성 가중치와 수평 기반 적분을 통해 국소적 가정 없이 일관된 해를 보장하며, 특히 어려운 이방성 모델에서 기존의 빠른 스weeping 방법(FSM)보다 참조 해에 더 가까운 결과를 도출한다.

ABSTRACT

The traveltime of compressional (P) and shear (S) waves have proven essential in many applications of earthquake and exploration seismology. An accurate and efficient traveltime computation for P and S waves is crucial for the success of these applications. However, solutions to the Eikonal equation with a complex phase velocity field in anisotropic media is challenging. The Eikonal equation is a first-order, hyperbolic, nonlinear partial differential equation (PDE) that represents the high-frequency asymptotic approximation of the wave equation. The fast marching and sweeping methods are commonly used due to their efficiency in numercally solving Eikonal equation. However, these methods suffer from numerical inaccuracy in anisotropic media with sharp heterogeneity, irregular surface topography and complex phase velocity fields. This study presents a new method to solving the Eikonal equation by employing the peridynamic differential operator (PDDO). The PDDO provides the nonlocal form of the Eikonal equation by introducing an internal length parameter (horizon) and a weight function with directional nonlocality. The operator is immune to discontinuities in the form sharp changes in field or model variables and invokes the direction of traveltime in a consistent manner. The weight function controls the degree of association among points within the horizon. Solutions are constructed in a consistent manner without upwind assumptions through simple discretization. The capability of this approach is demonstrated by considering different types of Eikonal equations on complex velocity models in anisotropic media. The examples demonstrate its unconditional numerical stability and results compare well with the reference solutions.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 속도장이 존재하는 이방성 매질에서 전통적인 빠른 이동 및 빠른 스weeping 방법(FMM/FSM)이 Eikonal 방정식을 풀이할 때 발생하는 수치적 불안정성과 정확도 저하 문제를 해결하기 위해.
• 특수 처리나 업윈드 가정 없이도 불연속성, 급격한 이방성, 비정규 표면 지형을 효과적으로 다룰 수 있는 강력한 수치적 접근법을 개발하기 위해.
• 평균 속도 기울기와 자동 미분를 활용한 야코비안 계산을 통해 진행시간에 대한 체계적이고 자동적인 初기 추측 값 생성 방법을 제공하기 위해.
• 진동 대칭성(TTI) 및 비대칭성(VTI) 매질에서 P-파 및 qSV-파 Eikonal 방정식을 해결하는 데 있어 PDDO 방법의 능력을 입증하기 위해.

제안 방법

• 내부 길이 매개변수(수평)와 방향성 가중치 함수를 도입하여 국소적 Eikonal 방정식을 비국소적 적분미분형으로 변환하기 위해 페리다이내크믹스 미분 연산자(PDDO)를 사용한다.
• PDDO는 수평 내에서의 통합을 통해 속도나 모델 매개변수의 불연속성 영역에서도 일관된 수치 미분을 가능하게 한다.
• 파동 전파의 특성 방향에 기반한 방향성 비국소성을 자연스럽게 포함하는 단순한 업윈드가 아닌 유한차분 이산화 방법을 사용한다.
• 핵심 함수를 통한 점 간의 연관성 제어를 통해 안정성과 정확도를 확보하기 위해 가중 최소제곱 근사법을 활용해 PDDO를 유도한다.
• 각 단계에서 야코비안 행렬을 계산하기 위해 자동 미분를 활용한 뉴턴 유사 방법을 사용해 해를 반복적으로 갱신한다.
• 이 방법은 TTI 및 VTI 매질에서 P-파 및 qSV-파 Eikonal 방정식에 적용되며, Thomsen 이방성 매개변수를 사용해 위상 속도장을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PDDO 방법은 복잡한 속도장과 급격한 이방성 조건에서 기존의 FMM 및 FSM보다 더 정확하고 안정적인 Eikonal 방정식 해를 제공할 수 있는가?
• RQ2 PDDO는 특수 수치 처리나 업윈드 스킴 없이도 속도 모델의 불연속성과 비정규 표면 지형을 어떻게 다루는가?
• RQ3 PDDO의 비국소적 성질이 다중 진행시간 또는 삼중 진행 현상이 발생하는 경우, 예를 들어 qSV-파 전파 시 정확도 향상에 어느 정도 기여하는가?
• RQ4 PDDO 방법은 수동 조정 없이 체계적으로 초기 진행시간 추측값을 생성할 수 있으며, 이는 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 PDDO 방법의 계산 비용과 확장성은 어떠한가? 특히 3D 응용에서 고성능 컴퓨팅을 위한 효율적 병렬 처리가 가능한가?

주요 결과

• BP TTI 모델에서 PDDO 방법은 잔차 오차가 3.17×10⁻³ 이하로 유지되었으며, 절대 오차가 FSM보다 균일하게 낮아 더 뛰어난 정확도를 입증했다.
• qSV-파 VTI 모델에서 PDDO 해는 t=0.63 s에서 저랭크 근사 참조 해와 밀도적으로 일치했으며, 수치적 분산에도 불구하고 주요 진행시간 분지를 잘 포착했다.
• 강한 이방성(ε=0.4, δ=0.2)과 기울어진 투과 대칭성(θ=40°) 조건에서도 PDDO 해는 안정적이고 정확했으며, 오차 지표에서 FSM을 능가했다.
• 이상적인 비균일 속도 기울기와 급격한 이방성을 가진 모델에서도 업윈드 스킴이나 인위적 안정화 없이 진행시간을 성공적으로 계산했다.
• PDDO 접근법은 GPU 기반 병렬 처리에 본질적으로 적합하여 3D 응용에서 높은 성능 향상을 기대할 수 있으나, 2D에서는 FMM/FSM보다 계산 비용이 높을 수 있다.
• 야코비안 계산에 자동 미분를 사용함으로써 수동 튜닝 없이도 강력하고 체계적인 해 갱신이 가능했다.