[논문 리뷰] Solving the minimum sum coloring problem via binary quadratic programming

Yang Wang, Jin‐Kao Hao외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 22.

Scheduling and Timetabling Solutions참고 문헌 25인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 NP-난이도의 최소합색칠문제(MSCP)를 해결하기 위해 새로운 이진 2차 프로그래밍(BQP) 방법을 제안한다. MSCP를 BQP 모델로 재구성하고 경로 재연결(Path Relinking) 알고리즘을 통해 해결한다. 이 방법은 기준 인스턴스에서 경쟁 가능한 성능을 달성하며, 대부분의 인스턴스에서 전용 MSCP 알고리즘을 matching하거나 능가하지만, 큰 그래프에서는 높은 계산 시간과 메모리 제약을 겪는다.

ABSTRACT

In recent years, binary quadratic programming (BQP) has been successively applied to solve several combinatorial optimization problems. We consider in this paper a study of using the BQP model to solve the minimum sum coloring problem (MSCP). For this purpose, we recast the MSCP with a quadratic model which is then solved via a recently proposed Path Relinking (PR) algorithm designed for the general BQP. Based on a set of MSCP benchmark instances, we investigate the performance of this solution approach compared with existing methods.

연구 동기 및 목표

• 이진 2차 프로그래밍(BQP)이 NP-난이도의 최소합색칠문제(MSCP)를 해결하는 데 통합된 프레임워크로 적용될 수 있는지 조사하기 위해.
• 제약 조건과 目적 함수의 변환을 위해 페널티 함수를 사용하여 MSCP를 BQP 모델로 재구성하기 위해.
• 표준 기준 인스턴스에서 BQP-PR 방법의 성능을 전용 MSCP 알고리즘과 비교 평가하기 위해.
• 계산 시간과 메모리 사용 측면에서 BQP 기반 방법의 확장성과 제약 사항을 분석하기 위해.

제안 방법

• MSCP는 먼저 이진 변수 x_uk를 사용하여 정점 u가 색 k에 할당되었는지를 나타내는 정수선형계획모형으로 모델링된다.
• 제약 위반에 대한 페널티 항을 포함시켜 선형 모형을 BQP 형식으로 변환한다: 정점 색칠 제약 조건(c1)에 대한 이차 페널티와 간선 제약 조건(c2)에 대한 페널티.
• 일般 BQP 모델이 요구하는 최대화 형식에 맞추기 위해 목적 함수를 반전시키고, 총 페널티 함수를 역목적 함수와 결합한다.
• 일반 BQP에 대해 이전에 개발된 경로 재연결(PR) 알고리즘을 재구성된 MSCP 인스턴스를 해결하기 위해 적용한다.
• 목적 함수와 제약 위반 간의 균형을 맞추기 위해 페널티 파라미터 P를 사용하며, 실험에서는 P를 1000으로 설정한다.
• 최고의 해에 도달하는 경로를 탐색하여 고품질 해를 발견하는 전용 PR 알고리즘을 사용하여 BQP 모델을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소합색칠문제(MSCP)는 효과적으로 이진 2차 프로그래밍(BQP) 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 해의 품질과 계산 시간 측면에서 BQP-PR 방법은 전용 MSCP 알고리즘과 비교해 어떻게 성능을 내는가?
• RQ3 큰 MSCP 인스턴스에 대해 메모리와 해 시간 측면에서 BQP-PR 방법의 확장성 한계는 무엇인가?
• RQ4 일반 목적의 BQP 알고리즘이 MSCP에 특화된 휴리스틱보다 우수하거나 동등한 성능을 낼 수 있는가?

주요 결과

• BQP-PR 방법은 23개 기준 인스턴스 중 15개에서 최고의 해를 달성하였으며, 전용 알고리즘의 최고 결과를 matching하거나 초월하였다.
• 14개 인스턴스에서는 BQP-PR 방법이 MRLF 휴리스틱을 능가하였고, 8개 인스턴스에서는 PGA 알고리즘을 뛰어넘었다.
• 23개 인스턴스 중 17개에서 최고의 해를 달성하였으며, myciel 및 queen 시리즈 전부와 DSJC 시리즈의 10개에서 성과를 내었다.
• DSJC500.1 인스턴스에서 BQP-PR는 3152의 해를 찾았지만, 최고의 알려진 결과는 2850이었으며, 이는 큰 그래프에서 성능 격차가 있음을 시사한다.
• 전용 알고리즘보다 훨씬 높은 계산 시간이 소요되었으며, 특히 큰 그래프에서 평균 시간이 급격히 증가하였다.
• 20,000개 이상의 BQP 변수를 가진 인스턴스를 해결할 수 없었으며, 이는 주요 확장성 제약 사항임을 보여준다.