[논문 리뷰] Solving the P/NP Problem under Intrinsic Uncertainty

Stefan Jaeger|ArXiv.org|2008. 11. 04.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 계산 모델에 내재된 불확실성을 도입하여 P/NP 문제에 새로운 해결책을 제시한다. 프로그램 코드와 입력을 비트 수준에서 구분할 수 없도록 다루며, 엔트로피와 신뢰도 임계값을 통해 불확실성을 모델링한다. 이를 통해 P ≠ NP 를 증명하며, P 에 속하지 않는 NP 에 속하는 함수를 구성한다. 동시에 기존의 어려운 결정 문제들은 불확실성 하에서 다항시간 근사화 가능하므로 여전히 P 에 속함을 보여준다.

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty principle states that it is not possible to compute both the position and momentum of an electron with absolute certainty. However, this computational limitation, which is central to quantum mechanics, has no counterpart in theoretical computer science. Here, I will show that we can distinguish between the complexity classes P and NP when we consider intrinsic uncertainty in our computations, and take uncertainty about whether a bit belongs to the program code or machine input into account. Given intrinsic uncertainty, every output is uncertain, and computations become meaningful only in combination with a confidence level. In particular, it is impossible to compute solutions with absolute certainty as this requires infinite run-time. Considering intrinsic uncertainty, I will present a function that is in NP but not in P, and thus prove that P is a proper subset of NP. I will also show that all traditional hard decision problems have polynomial-time algorithms that provide solutions with confidence under uncertainty.

연구 동기 및 목표

• 계산 모델에 내재된 불확실성을 도입하여 P/NP 문제를 해결한다.
• 튜링 기계의 고전적 가정인 딱정된 결정을 도입함으로써 불확실성을 처음부터 통합한다.
• 내재된 불확실성 하에서, 다항시간에 계산 가능한 함수가 존재하지 않지만 검증은 다항시간에 가능한 함수를 구성함으로써 P ≠ NP 를 증명한다.
• 내재된 불확실성 하에서 신뢰도 임계값을 사용하여 계산된 모든 전통적인 딱정된 결정 문제들이 여전히 P 에 속함을 보여준다.
• 부드러운 결정(엔트로피 임계값이 있는 결정)이 P 와 NP 를 구분하는 새로운 복잡도 계층을 수립한다. 딱정된 결정은 여전히 P 에 속함을 보여준다.

제안 방법

• 비트가 프로그램 코드인지 입력인지 명확히 분류될 수 없음을 전제로 하는 내재된 불확실성 원칙을 도입하여 이진 모호성을 초래한다.
• 표준 엔트로피를 사용하여 이 불확실성을 모델링하며, 불확실성은 H = -p log p - (1-p) log(1-p) 로 측정되며, 여기서 p 는 비트가 코드일 확률이다.
• 입력 크기 L(S) 와 관측 정밀도를 연결하는 시그모이드 유사 함수 o' = 1 / 2^L(S) 를 통해 신뢰도 수준을 정의한다.
• 자기계산을 통해 신뢰도를 생성한다: T_e'(L(S))^NP(S) = T_e'(L(T_e'(L(S))^NP(S)))^NP(T_e'(L(S))^NP(S))로, 이는 재귀적 불확실성을 생성한다.
• 엔트로피 임계값을 적용하여 부드러운 결정(신뢰도가 있는 결정)과 딱정된 결정(불확실성이 없는 결정)을 구분함으로써 수정된 복잡도 계층을 도출한다.
• 자기계산 튜링 기계의 모든 구현이 불확실성으로 인해 지수시간 또는 지수공간이 필요하므로 다항시간에 수행될 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내재된 불확실성을 계산 모델에 도입함으로써 P/NP 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 프로그램 코드와 입력이 서로 구분되지 않음으로써 P 와 NP 를 분리하는 근본적인 계산 제약이 발생하는가?
• RQ3 내재된 불확실성 하에서 다항시간에 검증 가능하나 다항시간에 계산 불가능한 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 내재된 불확실성 하에서 신뢰도 임계값을 사용하여 계산된 전통적인 딱정된 결정 문제들이 여전히 P 에 속하는가?
• RQ5 quantum mechanics 의 불확실성 원리가 튜링 기계에 적용되었을 때, 고전적 계산을 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 내재된 불확실성 하에서 P 에 속하지 않지만 NP 에 속하는 함수가 존재함을 증명함으로써 P ≠ NP 를 입증한다.
• 불확실성 하에서 자기계산은 지수시간 또는 지수공간이 필요하므로 다항시간에 수행될 수 없다.
• 모든 전통적인 딱정된 결정 문제, NP-완전 문제를 포함하여도, 내재된 불확실성 하에서 신뢰도 임계값을 사용하면 여전히 P 에 속한다.
• 신뢰도 수준 o' = 1 / 2^L(S) 는 자기계산의 입력 중 최대 1% 가 입력으로 사용됨을 보장하며, 이는 지수복잡도를 초래한다.
• 내재된 불확실성 원리는 P 가 NP 의 진부분집합이 되는 수정된 복잡도 계층을 이끌어내며, 부드러운 결정이 두 클래스를 구분한다.
• 논문은 P ≠ NP 를 결론내지만, 모든 전통적인 결정 문제들은 신뢰도 하에서 다항시간에 해결 가능하다고 결론을 내린다.