[논문 리뷰] Solving the Pell equation via Rédei rational functions

Stefano Barbero, Umberto Cerruti외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 19.

Polynomial and algebraic computation인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 확장된 실수에 대한 새로운 군 연산과 레데이 유리함수를 사용하는 새로운 대수적 프레임워크를 제안하여 펠 방정식을 해결하는 데 있어 대안적 방법을 제공한다. 레데이 함수를 연속 분수 수렴근과 군 동형사상으로 연결함으로써, $x^2 - dy^2 = 1$의 해는 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$의 조합을 통해 체계적으로 생성될 수 있음을 보여주며, 여기서 $L$의 길이가 짝수이면 $k = n$, 홀수이면 $k = 2n$이다. 이는 모든 펠 방정식 해를 구하는 데 있어 유리함수 기반의 알고리즘적 경로를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we define a new product over $\mathbb{R}^{\infty}$, which allows us to obtain a group isomorphic to $\mathbb R^*$ with the usual product. This operation unexpectedly offers an interpretation of the Rédei rational functions, making more clear some of their properties, and leads to another product, which generates a group structure over the Pell hyperbola. Finally, we join together these results, in order to evaluate solutions of Pell equation in an original way.

연구 동기 및 목표

• 확장된 실수 $\mathbb{R}^\infty$ 위에 정의된 군 구조가 $\mathbb{R}^*$와 동형임을 이용하여 레데이 유리함수의 새로운 대수적 해석을 수립한다.
• 펠 hyperbola $H_d$ 위에 기하학적 군 법칙을 반영하는 군 연산을 정의한다.
• 레데이 유리함수를 $\sqrt{d}$의 연속 분수 수렴근과 연결하여 펠 방정식의 해를 생성한다.
• 모든 펠 방정식의 해가 $k$가 짝수일 때 $L$이 짝수면 $k = n$, 홀수일 때 $k = 2n$인 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$의 형태로 나타남을 보여준다.
• 연속 분수 알고리즘에만 의존하지 않는, 기능 이론 기반의 대안적 방법을 제시하여 펠 방정식의 해를 계산한다.

제안 방법

• $(\mathbb{R}^\infty, \odot_d)$가 $(\mathbb{R}^*, \cdot)$와 동형임을 보장하는 이진 연산 $\odot_d$를 $\mathbb{R}^\infty$에 정의함으로써, 유리함수를 위한 새로운 대수적 구조를 가능하게 한다.
• 레데이 유리함수 $Q_n(d,z) = N_n(d,z)/D_n(d,z)$를 도입하며, 여기서 $N_n$과 $D_n$은 $(z + \sqrt{d})^n$의 이항 전개로 정의된다.
• 곱셈 성질인 $Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$를 증명함으로써, 레데이 함수가 합성에 대해 닫혀 있고 교환 법칙을 만족하는 교환적 준군을 이룬다는 것을 보여준다.
• 해 $H_d$에 속한 점 $(x,y)$에 대해 변환 $\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$를 정의하여 펠 하이퍼볼라와 레데이 함수 정의역을 연결한다.
• $(\frac{1+x}{y})^{n_{\odot_d}} = Q_n(d, \frac{1+x}{y})$임을 증명함으로써, $\mathbb{R}^\infty$ 위의 군 연산이 레데이 함수 반복과 대응됨을 보여준다.
• 항등식 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$를 사용하여 $\sqrt{d}$의 모든 수렴근을 생성함으로써, 펠 방정식의 해를 얻을 수 있으며, $L$이 짝수면 $k = n$, 홀수면 $k = 2n$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레데이 유리함수는 $\mathbb{R}^\infty$ 위의 새로운 군 구조를 통해 어떻게 재해석될 수 있으며, 이를 통해 더 깊은 대수적 성질을 드러낼 수 있는가?
• RQ2 펠 하이퍼볼라 $H_d$ 위의 기하학적 군 법칙은 레데이 함수를 포함하는 변환을 통해 대수적으로 재구성될 수 있는가?
• RQ3 레데이 유리함수와 $\sqrt{d}$의 연속 분수 수렴근 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 합성 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$는 주기 길이 $L$이 짝수이든 홀수이든 간에 펠 방정식의 해를 만드는 수렴근 $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$을 생성하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 펠 방정식 $x^2 - dy^2 = 1$의 모든 정수 해를 계산하는 데 있어 대안적 알고리즘적 방법으로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 레데이 유리함수 $Q_n(d,z)$는 곱셈 성질인 $Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$를 만족함으로써, 기능 반복을 통해 고차 해를 체계적으로 생성할 수 있다.
• 변환 $\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$는 펠 하이퍼볼라 $H_d$ 위의 점을 $\mathbb{R}^\infty$로 매핑하며, 여기서 군 연산 $\odot_d$는 레데이 함수의 거듭제곱과 대응된다.
• 모든 펠 방정식의 해 $(x_1, y_1)$에 대해 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$이며, $L$이 짝수면 $k = n$, 홀수면 $k = 2n$이므로, 해를 만드는 모든 수렴근을 생성한다.
• 항등식 $\left(\frac{1+x}{y}\right)^{n_{\odot_d}} = Q_n\left(d, \frac{1+x}{y}\right)$가 성립함으로써, $\mathbb{R}^\infty$ 위의 군 연산과 레데이 함수 평가 사이의 연결 고리가 확인된다.
• 이 방법은 레데이 유리함수와 최소 초기 해만을 사용하여 펠 방정식 $x^2 - dy^2 = 1$의 모든 정수 해를 완전하고 체계적으로 생성할 수 있다.
• 이 프레임워크는 펠 방정식의 해가 정확히 주기 길이 $L$의 짝홀성에 따라 결정되는 $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ 값임을 드러내며, 이는 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$를 통해 얻어진다.