[논문 리뷰] Solving the Shortest Vector Problem in $2^n$ Time via Discrete Gaussian Sampling

Divesh Aggarwal, Daniel Dadush외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 26.

Cryptography and Data Security참고 문헌 40인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 짧은 벡터 문제(SVP)를 $2^{n+o(n)}$ 시간과 공간에서 해결하는 랜덤화 알고리즘을 제안한다. 이는 새로운 이산 가우시안 샘플링(DGS) 기법을 도입함으로써 가능해졌다. 핵심 기여는 임의의 매개수에서 $2^{n/2}$개의 이산 가우시안 벡터를 $2^{n+o(n)}$ 시간에 샘플링할 수 있는 알고리즘으로, 이는 SVP, CVP, SIVP에 대한 향상된 알고리즘을 가능하게 하며 이전 방법에 비해 뚜렷한 런타임 감소를 이룬다.

ABSTRACT

We give a randomized $2^{n+o(n)}$-time and space algorithm for solving the Shortest Vector Problem (SVP) on n-dimensional Euclidean lattices. This improves on the previous fastest algorithm: the deterministic $\widetilde{O}(4^n)$-time and $\widetilde{O}(2^n)$-space algorithm of Micciancio and Voulgaris (STOC 2010, SIAM J. Comp. 2013). In fact, we give a conceptually simple algorithm that solves the (in our opinion, even more interesting) problem of discrete Gaussian sampling (DGS). More specifically, we show how to sample $2^{n/2}$ vectors from the discrete Gaussian distribution at any parameter in $2^{n+o(n)}$ time and space. (Prior work only solved DGS for very large parameters.) Our SVP result then follows from a natural reduction from SVP to DGS. We also show that our DGS algorithm implies a $2^{n + o(n)}$-time algorithm that approximates the Closest Vector Problem to within a factor of $1.97$. In addition, we give a more refined algorithm for DGS above the so-called smoothing parameter of the lattice, which can generate $2^{n/2}$ discrete Gaussian samples in just $2^{n/2+o(n)}$ time and space. Among other things, this implies a $2^{n/2+o(n)}$-time and space algorithm for $1.93$-approximate decision SVP.

연구 동기 및 목표

• n차원 격자에서 짧은 벡터 문제(SVP)를 더 빠르게 해결하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 특히 큰 매개수 뿐 아니라 모든 매개수에서 작동하는 효율적인 이산 가우시안 샘플링(DGS) 알고리즘을 설계하기 위해.
• SVP, CVP, SIVP를 포함한 정확하고 근사된 격자 문제의 시간 및 공간 복잡도를 향상시키기 위해.
• SVP에 대해 기존의 $4^n$에서 $2^n$으로 지수를 감소시켜 초지수 시간 알고리즘 분야에서 돌풍을 일으키기 위해.
• 효율적인 감소를 통해 DGS를 SVP 및 기타 격자 문제와 연결하는 새로운 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 임의의 매개수에서 $2^{n/2}$개의 이산 가우시안 샘플을 $2^{n+o(n)}$ 시간과 공간에서 생성할 수 있는 새로운 DGS 알고리즘을 도입한다.
• 그들은 격자 위의 이산 가우시안 분포 기반으로 재귀적 샘플링 전략을 사용하며, 스무딩 매개수와 尾確率 경계를 활용한다.
• 이 방법은 SVP에서 DGS로의 감소에 기반하며, 짧은 벡터는 이산 가우시안 샘플링을 통해 추출되고 노름 범위 기준으로 필터링된다.
• 핵심 기술적 구성 요소는 이산 가우시안 분포의 꼬리 확률 경계를 사용하여, 일정 비율의 샘플이 원하는 노름 범위 내에 포함되도록 보장하는 것이다.
• 알고리즘은 정확성과 효율성을 확보하기 위해 거부 샘플링 기법과 격자 구조를 결합한다.
• 스무딩 매개수 이상의 성능 향상을 위해, $2^{n/2+o(n)}$ 시간과 공간에서 작동하는 개선된 DGS 알고리즘을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짧은 벡터 문제(SVP)는 이전의 $\widetilde{O}(4^n)$ bound를 개선하여 $2^{n+o(n)}$ 시간과 공간에서 해결될 수 있는가?
• RQ2 특히 큰 매개수 뿐 아니라 모든 매개수에서 효율적인 이산 가우시안 샘플링(DGS)이 가능하여 새로운 격자 문제 감소를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 DGS 알고리즘이 근사 CVP와 SIVP를 초지수 시간 이내에 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 이산 가우시안 분포의 구조를 활용하여 SVP 및 관련 문제의 시간 복잡도를 감소시킬 수 있는가?
• RQ5 DGS 프레임워크를 수정하여 $2^{n/2+o(n)}$ 시간 내에 유계 거리 복원(BDD) 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 SVP를 해결하는 데 $2^{n+o(n)}$ 시간과 공간이 소요되는 알고리즘을 제시하며, 이는 이전의 $\widetilde{O}(4^n)$-시간 알고리즘보다 개선된 것이다.
• 이 논문은 임의의 매개수에서 작동하는 이산 가우시안 샘플링(DGS) 알고리즘을 도입하여 $2^{n/2}$개의 샘플을 $2^{n+o(n)}$ 시간과 공간에서 생성한다.
• 이 알고리즘은 $1.97$-근사 CVP에 대해 $2^{n+o(n)}$-시간 해법을 달성하여 이전의 초지수 시간 경계를 개선한다.
• 스무딩 매개수 이상의 매개수에 대해, $2^{n/2+o(n)}$ 시간과 공간에서 작동하는 개선된 DGS 알고리즘을 통해 $1.93$-근사 결정 SVP에 대해 $2^{n/2+o(n)}$-시간 해법을 달성한다.
• 이 프레임워크는 $\alpha$-유계 거리 복원(BDD) 문제에 대해 $2^{n/2+o(n)}$-시간 해법을 제공하며, 이때 $\alpha \approx 0.422 - o(1)$이다.
• 논문은 $\gamma$-SIVP에서 $\frac{1}{2}$-DGS로의 감소를 확립하며, $\gamma = O(\sqrt{n\log n})$ 이며 $2^{n/2+o(n)}$ 시간 내에 해결 가능하다.