[논문 리뷰] Solving the signed Roman domination and signed total Roman domination problems with exact and heuristic methods

Vladimir Filipović, Dragan Matić외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 02.

Constraint Satisfaction and Optimization인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정점에 부호가 부여된 로만 배치 문제(Signed Roman Domination Problem, SRDP)와 정점에 부호가 부여된 총 로만 배치 문제(Signed Total Roman Domination Problem, STRDP)를 해결하기 위해 정확한 방법과 휴리스틱 방법을 제안하며, 이중 정수선형계획법(ILP) 두 가지 모델, 제약프로그래밍(CP), 변수근접탐색(VNS)을 사용한다. ILP 모델이 다른 방법보다 뛰어난 성능을 보이며, 대부분의 소형 및 중형 규모의 인스턴스에서 최적해를 찾는 데 성공했고, 특히 New1 ILP 모델은 격자 그래프와 재귀적 인스턴스에서 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

In this paper we deal with the signed Roman domination and signed total Roman domination problems. For each problem we propose two integer linear programming (ILP) formulations, the constraint programming (CP) formulation and variable neighborhood search (VNS) method. We present proofs for the correctness of the ILP formulations and a polyhedral study in which we show that the polyhedrons of the two model relaxations are equivalent. VNS uses specifically designed penalty function that allows the appearance of slightly infeasible solutions. The acceptance of these solutions directs the overall search process to the promising areas in the long run. All proposed approaches are tested on the large number of instances. Experimental results indicate that all of them reach optimal solutions for the most of small and middle scale instances. Both ILP models have proven to be more successful than the other two methods.

연구 동기 및 목표

• 그래프 내에서 서명된 로만 배치 문제(SRDP)와 서명된 총 로만 배치 문제(STRDP)를 해결하는 데 있어 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 이러한 NP-완전 문제에 대해 정확한 방법과 휴리스틱 방법을 다수 개발하고 비교하여 해의 품질과 효율성을 향상시키기 위해.
• 기본 문제에 대해 정수프로그래밍, 제약프로그래밍, 변수근접탐색의 효과성을 입증하기 위해.
• 다양한 그래프 유형, 특히 격자, 이분, 무작위, 재귀적 그래프에 대해 제안된 방법의 성능을 평가하기 위해.
• 모든 방법 간에 해의 품질, 최적성 갭, 계산 시간을 종합적으로 비교하기 위해.

제안 방법

• SRDP 및 STRDP에 대해 두 가지 새로운 정수선형계획법(ILP) 수식을 제안하며, 정확성에 대한 형식적 증명과 이들의 타원형 해석의 다각형 동치성을 입증한다.
• 제약프로그래밍(CP)은 지배 함수를 변수로 매핑하고 문제 조건에서 직접 제약 조건을 유도함으로써 적용된다.
• 변수근접탐색(VNS)은 정점 쌍의 값을 증가시키거나 감소시켜 해 공간을 탐색하는 구조화된 이웃 변경 메커니즘을 사용한다.
• 사용자 정의 페널티 함수를 통해 약간의 비가능한 해를 수용함으로써 국소 최적해에서 벗어나 유망한 영역으로 탐색을 이끌 수 있다.
• VNS 방법은 해의 품질에 따라 이웃을 동적으로 조정하여 국소 탐색의 효율성을 향상시킨다.
• 모든 방법은 문헌에서 확보한 352개의 대규모 벤치마크 인스턴스 세트에서 평가되었으며, 이는 이분, 격자, 평면, 무작위, 재귀적 그래프 등의 다양한 그래프 유형을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 그래프 인스턴스에서 서명된 로만 배치 문제(SRDP)와 서명된 총 로만 배치 문제(STRDP)를 해결하는 데 있어 다양한 정확한 방법과 휴리스틱 방법은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 두 가지 ILP 수식이 최적성과 계산 효율성 측면에서 CP 및 VNS를 얼마나 뛰어나게 성과를 내는가?
• RQ3 제안된 페널티 함수를 갖춘 VNS는 특히 대규모 인스턴스에서 해 공간을 효과적으로 탐색하고 고품질의 해를 찾을 수 있는가?
• RQ4 다양한 그래프 유형에서 방법의 성능은 어떻게 되는가, 특히 확장성과 해의 품질 측면에서?
• RQ5 모델 구조와 수식화가 ILP 해석의 다각형 성질과 해의 품질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 두 가지 ILP 모델은 최적성 측면에서 CP 및 VNS를 뛰어넘었으며, SRDP의 352개 인스턴스 중 287개, STRDP의 352개 인스턴스 중 262개의 최적해를 찾았다.
• SRDP의 경우, VNS는 241개의 최고 해를 찾았고, CP는 209개를 찾았으며, 두 ILP 모델은 이들보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보였다.
• STRDP의 경우, New1 ILP 모델은 격자 그래프의 171개 인스턴스 중 169개의 최적해를 찾았으며, 이는 구조적 인스턴스에서 뛰어난 성능을 보임을 시사한다.
• 재귀적 그래프의 경우, ILP 모델은 7개의 최적해를 모두 찾았고, VNS와 CP는 각각 4개씩만 찾았다.
• 대규모 인스턴스(100개 이상 정점)에서는 특히 이분 및 무작위 그래프에서 시간 및 메모리 제한이 존재하더라도 ILP 모델이 여전히 우월한 성능을 보였다.
• 대규모 인스턴스에서 VNS는 CP를 능가했으며, 대부분의 그래프 유형에서 더 나은 평균 해를 찾고 평균 계산 시간도 낮게 유지했다.