[논문 리뷰] Solving the Steiner Tree Problem in Graphs using Physarum-inspired Algorithms

Yahui Sun|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 21.

Slime Mold and Myxomycetes Research참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 스티너 트리 문제(StTGP)를 해결하기 위해 두 가지 *Physarum*를 모델로 삼은 알고리즘—MS³-PO 및 HMS³-PO—을 제안한다. 이 알고리즘들은 *Physarum polycephalum*의 원 protoplasmic 유동 역학을 모방하여 최소 비용의 스티너 트리를 도출하며, 소규모 인스턴스에서는 평균 0.19%의 오차를 기록하고, 대규모 인스턴스(최대 10,000개 정점)에서는 3.69%의 오차를 기록하여 GA, DPSO 및 SPH 히우리스틱보다 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

Some biological experiments show that the tubular structures of Physarum polycephalum are often analogous to those of Steiner trees. Therefore, the emerging Physarum-inspired Algorithms (PAs) have the potential of computing Steiner trees. In this paper, we propose two PAs to solve the Steiner Tree Problem in Graphs (STPG). We apply some widely-used artificial and real-world VLSI design instances to evaluate the performance of our PAs. The experimental results show that: 1) for instances with hundreds of vertices, our first PA can find feasible solutions with an average error of 0.19%, while the Genetic Algorithm (GA), the Discrete Particle Swarm Optimization (DPSO) algorithm and a widely-used Steiner tree approximation algorithm: the Shortest Path Heuristic (SPH) algorithm can only find feasible solutions with an average error above 4.96%; and 2) for larger instances with up to tens of thousands of vertices, where our first PA, GA and DPSO are too slow to be used, our second PA can find feasible solutions with an average error of 3.69%, while SPH can only find feasible solutions with an average error of 6.42%. These experimental results indicate that PAs can compute Steiner trees, and it may be preferable to apply our PAs to solve STPG in some cases.

연구 동기 및 목표

• 대규모 실세계 그래프, 특히 VLSI 설계에서 NP-완전 스티너 트리 문제(StTGP)를 효율적으로 해결하는 데 도전한다.
• 자연적으로 효율적인 관류 네트워크를 형성하는 *Physarum polycephalum*의 생물학적 행동을 기반으로 한 자연 유도 알고리즘을 개발한다. 이는 스티너 트리와 유사한 구조를 띤다.
• 이전의 *Physarum* 기반 알고리즘의 한계를 극복한다. 이는 대규모 그래프에서 실패하거나, 간선 가중치가 동일하다는 가정을 하거나, 표준 벤치마크에서 경쟁력 있는 성능를 보이지 않는 경우가 있다.
• 실세계 및 인위적 VLSI 설계 인스턴스에서 GA, DPSO 및 SPH와 같은 널리 사용되는 히우리스틱과 비교하여 제안된 알고리즘의 성능을 평가한다.
• 기존 메타휴리스틱이 계산적으로 불가능해지는 대규모 그래프에서, *Physarum* 기반 알고리즘이 높은 품질의 해를 경쟁적인 실행 시간 성능로 달성할 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• MS³-PO 알고리즘은 유량 네트워크로 그래프를 모델링하며, 간선의 전도도는 수정된 Hagen-Poiseuille 방정식을 통해 변화한다. 이는 압력 차이에 기반한 원형 유동과 관의 두께 증가를 시뮬레이션한다.
• 간선 전도도는 미분방정식 $ \frac{d}{dt}D_{ij} = \alpha |Q_{ij}| - \mu D_{ij} $ 를 통해 업데이트되며, 여기서 $ Q_{ij} $ 는 간선 $ (i,j) $ 에서의 압력 차이에 기반한 유량이고, $ D_{ij} $ 는 관의 두께를 나타낸다.
• 알고리즘은 다수의 소스 노드와 단일 싱크 노드로 초기화되어, 높은 유량 경로를 강화함으로써 최소 비용의 스티너 트리로 시스템이 진화하도록 한다.
• HMS³-PO 알고리즘은 계층적 분해 전략을 도입한다. 그래프는 종단점 클러스터링에 기반해 부분 그래프로 분할되며, 각 부분 그래프에 대해 MS³-PO가 순차적으로 적용된 후 해가 통합된다.
• 계층적 접근은 계산 복잡도를 감소시키고, 수천 개의 정점을 포함하는 대규모 그래프로의 확장성을 보장한다.
• 해의 품질을 확보하기 위해, 부분 그래프의 수가 종단점의 수와 동일할 경우, 알고리즘이 단순한 최단경로 히우리스틱(SPH)으로 변형되어 최소한 SPH 수준의 성능를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수의 정점(수백 개)을 가진 그래프에서 *Physarum* 기반 알고리즘이 GA 및 DPSO와 같은 기존 히우리스틱보다 우수한 근사 최적 해를 효과적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 기존 메타휴리스틱이 계산적으로 불가능해지는 대규모 그래프(수천 개의 정점까지)에서 *Physarum* 기반 알고리즘이 확장 가능한가?
• RQ3 HMS³-PO의 계층적 분해 전략은 대규모 VLSI 설계 인스턴스에서 확장성과 함께 해의 품질을 유지하는가?
• RQ4 제안된 *Physarum* 기반 알고리즘의 성능가 SPH 히우리스틱과 표준 벤치마크 인스턴스에서 정량적으로 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 *Physarum polycephalum*의 네트워크 형성 생물학적 유사성은 스티너 트리 문제(StTGP)를 위한 강력하고 확장 가능하며 고성능 알고리즘으로 공식적으로 매핑될 수 있는가?

주요 결과

• 수백 개의 정점을 가진 소규모 VLSI 설계 인스턴스에서 MS³-PO는 평균 0.19%의 오차를 기록하였으며, GA(28.72% 오차), DPSO(279.05% 오차), SPH(4.96% 오차)보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보였다.
• MS³-PO는 17개의 소규모 인스턴스 중 14개에서 정확한 스티너 최소 트리(SMT)를 찾았고, GA, DPSO, SPH는 각각 2개, 0개, 3개의 인스턴스에서만 SMT를 찾았다.
• 최대 10,393개의 정점이 있는 대규모 VLSI 설계 인스턴스에서 HMS³-PO는 평균 3.69%의 오차를 기록하였으며, SPH의 평균 오차 6.42%를 능가하였다.
• HMS³-PO는 모든 인스턴스에서 최소한 SPH 수준의 성능를 보장한다. 이는 부분 그래프의 수가 종단점의 수와 동일할 경우 SPH로 변형되기 때문이다.
• HMS³-PO는 SteinLib 라이브러리의 22개의 대규모 벤치마크 인스턴스를 합리적인 시간 내에 모두 성공적으로 해결하여, 대규모 그래프로의 확장성을 입증하였다.
• 결과적으로, *Physarum* 기반 알고리즘은 GA 및 DPSO가 너무 느려져서 사용이 어려운 대규모 그래프에서 기존 히우리스틱과 경쟁 가능한 대안이 될 수 있음을 시사한다.