[논문 리뷰] Solving the wave equation with physics-informed deep learning

Ben Moseley, Andrew Markham외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 21.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 112

한 줄 요약

이 논문은 물리 기반 신경망(PINN)이 균질, 층상, 지구 현실 매질에서 2D 음향 파동 방정식을 풀 수 있으며 경계 데이터 너머로 일반화하고 소스 위치에 조건을 걸어 재훈련 없이도 가능하게 한다.

ABSTRACT

We investigate the use of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving the wave equation. Whilst PINNs have been successfully applied across many physical systems, the wave equation presents unique challenges due to the multi-scale, propagating and oscillatory nature of its solutions, and it is unclear how well they perform in this setting. We use a deep neural network to learn solutions of the wave equation, using the wave equation and a boundary condition as direct constraints in the loss function when training the network. We test the approach by solving the 2D acoustic wave equation for spatially-varying velocity models of increasing complexity, including homogeneous, layered and Earth-realistic models, and find the network is able to accurately simulate the wavefield across these cases. By using the physics constraint in the loss function the network is able to solve for the wavefield far outside of its boundary training data, offering a way to reduce the generalisation issues of existing deep learning approaches. We extend the approach for the Earth-realistic case by conditioning the network on the source location and find that it is able to generalise over this initial condition, removing the need to retrain the network for each solution. In contrast to traditional numerical simulation this approach is very efficient when computing arbitrary space-time points in the wavefield, as once trained the network carries out inference in a single step without needing to compute the entire wavefield. We discuss the potential applications, limitations and further research directions of this work.

연구 동기 및 목표

• 미디어의 증가하는 복잡성에 걸친 파동 방정식 해결을 위해 PINN을 동기부여하고 평가한다.
• 손실의 물리 제약이 경계 데이터 너머 일반화를 개선한다.
• 초기 조건 전반에 걸친 일반화를 위해 소스 위치에 조건을 부여하여 PINN 확장.
• 파동 유형 문제의 수렴을 개선하기 위한 커리큘럼 학습 제안.
• 인터페이스 및 고주파/3D 확장에 대한 도전과 향후 방향을 식별한다.

제안 방법

• 네트워크가 u(t,x)를 근사하도록 물리 제약 신경망 문제로 파동 방정식을 형식화한다.
• 초기 FD 데이터에 기반한 경계 손실과 자동 미분을 통해 파동 방정식을 강제하는 물리 손실을 사용한다.
• 소프트플러스 활성화와 선형 출력을 사용하는 10층 완전연결 네트워크(1024 채널)를 사용하여 학습한다.
• 소스 위치에 조건을 추가하여 PINN을 확장해 초기 조건 전반에 걸쳐 일반화한다.
• 경계 데이터에서 먼저 학습한 다음 확장되는 시간 범위에 물리 손실을 추가하는 커리큘럼 학습을 구현한다.
• 동질적, 층상, Marmousi 등 세 가지 속도 모델에서 점진적으로 복잡성을 증가시키며 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PINN이 공간적으로 가변 속도 매질에서 2D 음향 파동 방정식을 정확히 풀 수 있는가?
• RQ2 물리 손실을 포함하는 것이 파동 문제에 대해 경계 학습 데이터를 넘어 일반화를 가능하게 하는가?
• RQ3 소스 위치를 기준으로 PINN에 조건을 부여하면 재훈련 없이도 서로 다른 초기 조건에 대해 일반화할 수 있는가?
• RQ4 어떤 학습 전략(예: 커리큘럼 학습)이 파동 방정식 PINN의 수렴을 개선하는가?
• RQ5 인터페이스에서의 한계와 지구 현실 모델의 복잡성에 대한 PINN의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• PINN은 균질 및 층상 매질에서 파동장을 정확히 시뮬레이션하여 FD 해와 일치하고 초기 학습 시간 너머로 일반화한다.
• 물리 손실은 네트워크가 다양한 매질에서 전송, 반사, 압축, 팽창 및 구면 확산을 재현하도록 한다.
• 소스 위치에 조건을 부여하면 지구 현실 Marmousi 모델에서 재훈련 없이 새로운 소스에 일반화할 수 있다.
• 커리큘럼 학습은 물리 손실을 처음부터 사용하는 것보다 수렴을 개선한다.
• Marmousi 케이스는 초기 파동장의 모델링 및 후기 시간의 다이나믹스가 타당하지만 낮은 진폭의 반사파에서 어려움을 보이며 인터페이스 불연속성 문제를 시사한다.
• Marmousi를 위한 PINN 학습은 Titan V GPU에서 약 하루가 걸리며, 이후에는 쿼리별 파동장 평가가 빠르게 가능하다.