[논문 리뷰] Solving time-fractional differential equation via rational approximation

Ustim Khristenko, Barbara Wohlmuth|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 09.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 52인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 시간 분수형 미분 방정식을 해결하기 위한 새로운 수치적 방법을 제안한다. 분수적 커널의 라플라스 스펙트럼을 적응형 AAA 알고리즘을 사용해 근사함으로써, 더 적은 모드로 문제를 상미분 방정식 시스템으로 환원하는 유리함 근사법을 가능하게 한다. 이 방법은 $\frac{1}{h}\frac{1}{\mathrm{log}}\frac{1}{h}$ 복잡도를 달성하며, 선형 및 비선형 Cahn-Hilliard 문제를 해결하는 데 있어 최적의 수렴 속도와 안정성을 보여준다.

ABSTRACT

Fractional differential equations (FDEs) describe subdiffusion behavior of dynamical systems. Its non-local structure requires taking into account the whole evolution history during the time integration, which then possibly causes additional memory use to store the history, growing in time. An alternative to a quadrature for the history integral is to approximate the fractional kernel with the sum of exponentials, which is equivalent to considering the FDE solution as a sum of solutions to a system of ODEs. One possibility to construct this system is to approximate the Laplace spectrum of the fractional kernel with a rational function. In this paper, we use the adaptive Antoulas--Anderson (AAA) algorithm for the rational approximation of the kernel spectrum which yields only a small number of real valued poles. We propose a numerical scheme based on this idea and study its stability and convergence properties. In addition, we apply the algorithm to a time-fractional Cahn-Hilliard problem.

연구 동기 및 목표

• 시간 분수형 미분 방정식(FDEs)에 대한 기존의 적분 기반 방법의 높은 계산 비용과 메모리 요구량을 해결하기 위해.
• 라플라스 스펙트럼의 적응형 유리함 근사를 통해 커널 압축 기법에서 필요한 보조 모드 수를 줄이기 위해.
• 유리함 근사 프레임워크 기반의 안정적이고 고차수의 시간 적분 스킴(implicit Euler 및 Crank-Nicolson 변형)을 개발하기 위해.
• 선형 문제(해가 알려진 경우)와 2차원 비선형 시간 분수형 Cahn-Hilliard 문제에 대해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 분수적 커널의 라플라스 변환은 적응형 Antoulas–Anderson(AAA) 알고리즘을 통한 바이센트릭 유리함 보간법을 사용해 근사한다.
• 결과적으로 얻어진 유리함 근사는 실수이며 비음이 아닌 극점과 특이항을 가지며, 이는 소수의 ODE 모드로 분해 가능하게 한다.
• FDE는 $m = \mathcal{O}(\log(1/h))$ 개의 결합된 ODE로 재구성되며, 각각은 병렬적으로 해석할 수 있다.
• 불필요한 진동을 방지하기 위해 지수 적분 기반의 안정화된 Crank-Nicolson 유형의 스킴을 제안한다.
• 시간 적분 스킴은 과거 항의 명시적 적분 없이 유도되며, 그 계수는 자연스럽게 분수형 Adams–Moulton 가중치를 복원한다.
• 공간 이산화에는 $64 \times 64$ 메esh에서 $Q_1$ 유한요소 방법을 사용하였으며, $\alpha \in \{0.1, 0.3, 0.5, 0.9\}$ 인 비선형 Cahn-Hilliard 모델에 적용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AAA 알고리즘이 기존의 적분 기반 커널 압축 방법보다 더 적은 모드로 분수적 커널의 라플라스 스펙트럼을 유리함 근사할 수 있는가?
• RQ2 유도된 ODE 시스템이 최적의 수렴 속도를 가지며 안정적이고 수렴 가능한 시간 적분을 가능하게 하는가?
• RQ3 비선형 시간 분수형 PDE, 예를 들어 Cahn-Hilliard 방정식에 대해 이 방법의 정확도와 계산 효율성은 어떠한가?
• RQ4 안정화된 Crank-Nicolson 스킴이 FDE에 대한 지수 적분기법에서 흔히 발생하는 불필요한 진동을 피할 수 있는가?
• RQ5 다양한 분수적 차수 $\alpha$와 시간 간격 $h$에 대해 이 방법의 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 시간 적분 스킴에 대해 $\mathcal{O}(h \log h)$ 및 $\mathcal{O}(h^{1+\alpha})$ 수렴 속도를 달성하였으며, 이는 이론적 기대와 일치한다.
• 모드 수 $m$은 기존의 많은 커널 압축 방법보다 크게 감소하였으며, 비록 $\mathcal{O}(\log(1/h))$로 증가하지만 여전히 효율적이다.
• 안정화된 Crank-Nicolson 스킴은 불필요한 진동을 성공적으로 방지하여, 경직된 분수형 문제에 대해 강건함을 입증한다.
• 시간 분수형 Cahn-Hilliard 문제에 대해, 작은 $\alpha$ 값은 초기에 버블의 융합 속도가 빠르며, 이후에 큰 $\alpha$ 값보다 느린 역학을 보이며 물리적 기대와 일치한다.
• 수렴 연구를 통해 상대 오차 $\mathcal{E}_r$ 가 모든 테스트된 $\alpha$ 값에서 이론적 경계를 준수하며, 오차 비율이 예측된 순서와 일치함을 확인하였다.