[논문 리뷰] Solving Two Dimensional H(curl)-elliptic Interface Systems with Optimal Convergence On Unfitted Meshes

Ruchi Guo, Yanping Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 24.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2차원 맥스웰 경계 문제를 비일치 메esh에서 해결하기 위해 최저 차수의 Nédélec 원소를 사용하는 새로운 H(curl)-적합한 임mersed 유한요소(Implicit Finite Element, IFE) 방법을 제시한다. 물질 경계를 따라 도메인의 점프 조건을 약한 형태로 강제하는 특수한 IFE 함수를 구성하고, 표준 Nédélec 함수를 시험 함수로 사용하는 페트로프-갈레르킨 형식을 적용함으로써, 분석과 수치 실험을 통해 H(curl) 노름에서 최적 수렴 속도를 확보한다.

ABSTRACT

In this article, we develop and analyze a finite element method with the first family Nédélec elements of the lowest degree for solving a Maxwell interface problem modeled by a $\mathbf{H}( ext{curl})$-elliptic equation on unfitted meshes. To capture the jump conditions optimally, we construct and use $\mathbf{H}( ext{curl})$ immersed finite element (IFE) functions on interface elements while keep using the standard Nédélec functions on all the non-interface elements. We establish a few important properties for the IFE functions including the unisolvence according to the edge degrees of freedom, the exact sequence relating to the $H^1$ IFE functions and the optimal approximation capabilities. In order to achieve the optimal convergence rates, we employ a Petrov-Galerkin method in which the IFE functions are only used as the trial functions and the standard Nédélec functions are used as the test functions which can eliminate the non-conformity errors. We analyze the inf-sup conditions under certain conditions and show the optimal convergence rates which are also validated by numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 비일치 메쉬에서 H(curl)-타원형 경계 문제에 대해 최적 수렴을 달성하는 유한요소 방법을 개발함으로써, 경계에 맞는 메쉬 분할이 필요 없도록 하는 것.
• 물질 경계를 따라 전기장과 컬 컴포넌트의 점프 조건을 약한 형태로 만족하는 H(curl)-적합한 임머스드 유한요소 함수를 구성하는 것.
• 맥스웰 방정식의 맥락에서 IFE 함수의 유일존재성, 정확한 수열 성질 및 최적 근사 능력을 확립하는 것.
• 표준 Nédélec 함수를 시험 함수로 사용하는 페트로프-갈레르킨 형식을 통해 비일치 오차를 제거하고 최적 수렴 속도를 증명하는 것.

제안 방법

• 비경계 요소에서는 최저 차수의 첫 번째 Nédélec 원소(모서리 원소)를 사용하고, 경계 요소에서는 점프 조건을 포착하기 위해 특수한 H(curl)-적합 IFE 함수를 구성한다.
• IFE 함수는 경계에서 전기장의 탄성 연속성과 자속밀도(컬프 컴포넌트)의 법선 연속성을 점프 조건에 기반해 약한 형태로 만족하도록 설계된다.
• IFE 함수를 시험 함수로, 표준 Nédélec 함수를 시험 함수로 사용하는 페트로프-갈레르킨 프레임워크를 적용함으로써 비일치 오차를 제거하고 최적 수렴을 달성한다.
• 구성 과정은 기하학적 분해를 통해 경계 요소를 스트립으로 분할하고, 각 스트립에 국소 프리드리히스 유형 부등식을 적용함으로써 이루어진다.
• 분석은 기하학적 추정, 경계 불등식 및 스트립 수의 경계 위치에 독립적인 유계성에 기반하며, 안정성과 최적 근사성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H(curl)-적합한 유한요소 방법이 맥스웰 경계 문제에 대해 비일치 메쉬에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 점프 조건을 약한 형태로 강제하면서도 모서리 자유도를 유지하고 정확한 수열 성질과 유일존재성을 보존할 수 있는 IFE 함수는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 비일치 메쉬에서 IFE 시험 함수를 사용할 때 페트로프-갈레르킨 형식이 비일치 오차를 어떻게 제거하는가?
• RQ4 기하학적 분해에서 사용하는 스트립 수는 경계 위치에 관계없이 균일하게 유계로 유지될 수 있는가? 이는 방법의 강건성을 보장하는가?
• RQ5 이산 문제의 inf-sup 조건을 확립하기 위해 필요한 조건는 무엇인가? 이는 문제의 잘 정의됨과 최적 수렴을 보장한다.

주요 결과

• 제안된 IFE 함수는 모서리 자유도에 대해 유일존재성이 보장되어 잘 정의된 이산 공간을 형성한다.
• IFE 함수는 H1-적합한 IFE 함수와 함께 정확한 수열을 이룬다. 이는 유한요소 공간의 중요한 구조적 성질를 유지한다.
• 방법은 H(curl) 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하며, 해의 L2 노름 오차는 h 비례하고, H(curl) 준노름 오차는 h 비례한다.
• 기하학적 분해에서 사용하는 스트립 수는 기하학적 매개변수 δ1과 δ2의 하한 덕분에 경계 위치에 관계없이 균일하게 유계이다.
• 메쉬와 경계 기하학에 대한 일정한 가정 하에 inf-sup 조건이 확립되어 이산 문제의 잘 정의됨이 보장된다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 확인하여, 비일치 메쉬에서 이 방법의 최적 성능을 검증한다.