[논문 리뷰] Solving Unbounded Quadratic BSDEs by a Domination Method

Khaled Bahlali|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 z-변수에 대해 초선형 성장을 보이는 생성자와 함께 유계가 아닌 이차 후행 확률미분방정식(QBSDEs)의 해가 존재함을 보장하기 위한 새로운 지배 방법을 제안한다. 생성자를 위아래로 지배하는 두 개의 BSDE를 통해 해가 순서가 정렬된 경우, 이 방법은 해의 최대 및 최소 해 존재성을 보장하며, 종료 조건이 유계가 아니고 성장 함수 f가 국소 적분 가능일 뿐이어도 성립한다. 이는 이전 결과에서 요구하던 f의 전역 적분 가능성 또는 유계 종료 자료 조건을 완화한다.

ABSTRACT

We introduce a domination argument which asserts that: if we can dominate theparameters of a quadratic backward stochastic differential equation (QBSDE) with continuousgenerator from above and from below by those of two BSDEs having ordered solutions, thenalso the original QBSDE admits at least one solution. This result is presented in a generalframework: we do not impose any integrability condition on none of the terminal data of thethree involved BSDEs, we do not require any constraint on the growth nor continuity of thetwo dominating generators. As a consequence, we establish the existence of a maximal anda minimal solution to BSDEs whose coefficient H is continuous and satisfies |H(t, y, z)| $\le$$α$ t + $β$ t |y| + $θ$ t |z| + f (|y|)|z| 2 , where $α$ t , $β$ t , $θ$ t are positive processes and the function f ispositive, continuous and increasing (or even only positive and locally bounded) on R. This isdone with unbounded terminal value. We cover the classical QBSDEs where the function f isconstant ([10], [12], [23], [25]) and when f (y) = y p ([21]) and also the cases where the generator has super linear growth such as y|z|, e |y| |z| p , e e |z| 2 , (k $\ge$ 0, 0 $\le$ p < 2) and so on. Incontrast to the works [10, 12, 21, 23, 25], we get the existence of a a maximal and a minimalsolution and we cover the BSDEs with at most linear growth (take f = 0). In particular,we cover and extend the results of [22] and [24]. Furthermore, we establish the existence anduniqueness of solutions to BSDEs driven by f (y)|z| 2 when f is merely locally integrable on R.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 종료 값과 z-변수에 대해 초선형 성장을 보이는 생성자를 가진 이차 BSDE의 해 존재성을 다루는 것.
• 성장 함수 f가 전역 적분 가능해야 한다는 표준 요구 조건을 완화하여, f가 ℝ 상에서 국소 적분 가능임만으로도 허용하는 것.
• 유계 종료 자료와 생성자 지배 함수에 대한 연속성 또는 적분 가능성 제약 조건 없이도 일반 조건 하에서 최대 및 최소 해 존재를 확립하는 것.
• 기존 QBSDE 결과를 확장하여 f(y) = y^p, e^{|y|^k} |z|^p, e^{e^{|y|}}|z|^2 등의 경우를 포함한, 이전에 고전적 존재 이론의 범위를 벗어난 사례를 다루는 것.

제안 방법

• 지배 논증을 제안: QBSDE의 생성자 H가 두 다른 생성자에 의해 위아래로 지배되고, 이에 대응하는 BSDE의 해가 순서가 정렬되어 있다면, 원래 QBSDE는 적어도 하나의 해를 가짐을 보장한다.
• 함수 u_f(x) = ∫₀ˣ exp(2∫₀ᶻ f(r)dr) dz를 통한 변환을 통해 생성자에서 이차 항을 제거하고, 문제를 선형 유형의 BSDE로 환원한다.
• Itô–Krylov 공식을 적용하여 원래 QBSDE를 변환된 종료 변수에 의해 구동되는 등가 BSDE로 변환하며, u_f와 그 역함수의 정칙성을 활용한다.
• Sobolev 및 국소 L^1 정칙성 이론을 적용하여 변환된 과정이 잘 정의되고 필요한 적분 가능성 및 가측성 조건을 만족함을 보장한다.
• f가 ℝ 상에서 국소 적분 가능일 경우, f(|y|)|z|²를 생성자로 가지는 BSDE의 해 존재성 및 유일성을 변환 및 지배 프레임워크를 통해 확립한다.
• u_f의 역함수가 국소 리프시츠이며 W^{2,loc}_1에 속한다는 사실에 기반하여, 변환된 공간에서 확률적 해법 도구를 사용할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성장 함수 f의 전역 적분 가능성을 가정하지 않고도, 종료 값이 유계가 아니고 z에 대해 초선형 성장을 보이는 생성자를 가진 QBSDE의 해 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 f가 국소 적분 가능이고 종료 조건이 유계가 아닐 경우에도 QBSDE의 최대 및 최소 해 존재성이 유지되는가?
• RQ3 상수 또는 다항식 f에 대한 고전적 결과를 e^{|y|^k}|z|^p 또는 e^{e^{|y|}}|z|^2와 같은 더 일반적인 성장 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 지배 생성자에 대한 연속성 또는 적분 가능성 가정 없이도 QBSDE의 해 프레임워크를 구성할 수 있는가?
• RQ5 지배 방법을 통해 f가 국소 적분 가능일 경우 f(|y|)|z|²를 생성자로 가지는 QBSDE의 해 존재성 및 유일성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 f가 양수, 연속적이거나 국소 유계이며 증가하는 경우, |H(t,y,z)| ≤ α_t + β_t|y| + θ_t|z| + f(|y|)|z|² 를 만족하는 생성자에 대해 최대 및 최소 해 존재성을 확립한다. 이는 f가 전역 적분 가능하지 않더라도 성립한다.
• 이 방법은 y|z|, e^{|y|^k}|z|^p (k≥0, 0≤p<2), e^{e^{|y|}}|z|^2와 같은 초선형 성장 생성자에 적용 가능하며, 고전적 이차 사례를 초월한다.
• f(y) = 1_{ℝ₊}(y) 인 경우, 종료 변수 ξ에 대한 적분 조건 없이도 해 존재성을 보여주며, 이는 방법의 강건성을 입증한다.
• f가 ℝ 상에서 국소 적분 가능일 경우, f(|y|)|z|²를 생성자로 가지는 BSDE의 해 존재성 및 유일성을 증명하였으며, 이는 이전 결과에서 요구하던 전역 적분 가능성 조건을 크게 초월한다.
• u_f(x) = ∫₀ˣ exp(2∫₀ᶻ f(r)dr) dz 를 통한 변환은 원래 QBSDE를 선형 유형의 BSDE로 변환하여, 변환된 공간에서 표준 존재 도구를 사용할 수 있도록 한다.
• u_f의 역함수가 국소 리프시츠이자 W^{2,loc}_1(ℝ)에 속한다는 것이 입증되었으며, 이는 변환된 해 과정이 잘 정의되고 확률적 적분에 필요한 정칙성을 만족함을 보장한다.