[논문 리뷰] Solving unconstrained 0-1 polynomial programs through quadratic convex reformulation

Sourour Elloumi, Amélie Lambert외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 22.

Advanced Optimization Algorithms ResearchMathematics참고 문헌 46인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 비선형 이진 다항식 프로그래밍 문제를 삼단계 정확한 방법인 PQCR를 제안한다. 이 방법은 이차형 볼록 재구성 기법을 통해 문제를 볼록 이차 프로그래밍으로 재구성한다. 이는 도전적인 인스턴스, 특히 6개의 이전에 해결되지 않은 저자기상관 이진수열 문제를 해결하고 나머지 27개에 대해서도 상한과 최적성 갭을 향상시키는 데 성공한다.

ABSTRACT

We propose a solution approach for the problem (P) of minimizing an unconstrained binary polynomial optimization problem. We call this method PQCR (Polynomial Quadratic Convex Reformulation). The resolution is based on a 3-phase method. The first phase consists in reformulating (P) into a quadratic program (QP). For this, we recursively reduce the degree of (P) to two, by use of the standard substitution of the product of two variables by a new one. We then obtain a linearly constrained binary program. In the second phase, we rewrite the quadratic objective function into an equivalent and parametrized quadratic function using the equality x 2 i = x i and new valid quadratic equalities. Then, we focus on finding the best parameters to get a quadratic convex program which continuous relaxation's optimal value is maximized. For this, we build a semidefinite relaxation (SDP) of (QP). Then, we prove that the standard linearization inequalities, used for the quadratization step, are redundant in (SDP) in presence of the new quadratic equalities. Next, we deduce our optimal parameters from the dual optimal solution of (SDP). The third phase consists in solving (QP *), the optimal reformulated problem, with a standard solver. In particular, at each node of the branch-and-bound, the solver computes the optimal value of a continuous quadratic convex program. We present computational results on instances of the image restoration problem and of the low autocorrelation binary sequence problem. We compare PQCR with other convexification methods, and with the general solver Baron 17.4.1 [39]. We observe that most of the considered instances can be solved with our approach combined with the use of Cplex [24].

연구 동기 및 목표

• 비볼록이고 이산적인 목표함수를 가진 비제약 이진 다항식 프로그래밍 문제의 NP-난이도 문제를 해결한다.
• 일반적인 솔버와 기존의 볼록화 기법보다 어려운 인스턴스에서 뛰어난 성능을 보이는 맞춤형 볼록화 방법을 개발한다.
• 다항식 문제의 구조에 특화된 새로운 수반 정수계획법(SDP) 리 릿지션을 통해 연속적 리 릿지션 상한을 향상시킨다.
• 최적의 재구성 후 표준 솔버를 사용하여 대규모 이진 다항식 프로그래밍 문제의 정확한 전역 최적화를 가능하게 한다.
• 다양한 이차형화 전략이 볼록 재구성의 품질과 해법 효율성에 미치는 영향을 조사한다.

제안 방법

• 단계 1: 변수의 곱을 새로운 이진변수로 반복적으로 치환함으로써 원래의 다항식 문제를 선형 제약 조건을 가진 이진 이차 프로그래밍(QP)으로 이차형화한다.
• 단계 2: QP의 목적함수를 매개변수화하기 위해 새로운 유효한 이차 등식(예: $x_i^2 = x_i$ 및 이차형화 과정에서 유도된 추가 항등식)을 도입한다.
• QP의 새로운 수반 정수계획법(SDP) 리 릿지션을 구성하여 연속적 리 릿지션 상한을 최대화하는 최적의 매개변수를 계산한다.
• 이러한 새로운 이차 등식이 포함될 경우 표준 선형화 부등식이 중복됨을 증명하고, SDP 공식화를 향상시킨다.
• SDP 리 릿지션의 이중 해에서 최적의 매개변수를 유도하여 등가의 볼록 이차 프로그래밍(QP*)을 구성한다.
• 단계 3: 최적의 재구성된 볼록 QP*를 표준 분기소거법 솔버로 해결하며, 볼록성 덕분에 노드 최적화를 효율적으로 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맞춤형 이차형 볼록 재구성 전략이 비제약 이진 다항식 프로그래밍 문제의 연속적 리 릿지션 상한을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 이차형화 방법의 선택이 도출된 볼록 리 릿지션의 타이트함과 해법 성능에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 제안된 PQCR 방법이 이진 다항식 프로그래밍의 벤치마크 인스턴스에서 일반 목적의 전역 솔버인 Baron보다 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ4 '중요한' 이차 등식을 식별하기 위한 사전 처리가 SDP 해법 단계의 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 PQCR는 저자기상관 이진수열 문제의 이전에 해결되지 않은 인스턴스를 어느 정도 해결할 수 있는가?

주요 결과

• PQCR는 minlplib에서 제공한 저자기상관 이진수열(LABS) 문제 세트 중 45개의 미해결 인스턴스 중 6개를 해결했으며, 이는 이전에 보고되지 않은 해결 사례이다.
• 남은 27개의 해결되지 않거나 부분적으로 해결된 LABS 인스턴스에 대해서도 PQCR는 원시해 상한과 이중해 상한을 모두 향상시켜 더 높은 상한 품질을 입증했다.
• PQCR의 연속적 리 릿지션 상한은 PC1, PC2, PC3와 같은 다른 이차형화 방법보다 항상 더 타이트했으며, 특히 제안된 이차형화 전략을 사용했을 때 최고의 성능를 기록했다.
• 평균적으로 SDP 리 릿지션 해법에 총 CPU 시간의 75%가 소요되어, 이 단계의 가속화를 위해 중요 등식을 식별하는 사전 처리가 필요함을 시사했다.
• 시험된 인스턴스에서 PQCR는 일반 목적의 솔버인 Baron보다 상한 향상과 해법 품질 측면에서 뚜렷한 우수성을 보였다.
• 저자들이 관찰한 lin, 문제의 이차형화된 변수 수(N)와 SDP 상한의 품질(LB_i)은 이차형화 방법의 선택에 따라 크게 영향을 받았으며, 일부 경우에서 PC3도 경쟁력 있는 성능를 보였다.