[논문 리뷰] Solving various NP-Hard problems using exponentially fewer qubits on a Quantum Computer

Yagnik Chatterjee, Eric Bourreau외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 게이트 기반 양자 컴퓨터에서 기존에 필요한 것보다 지수적으로 적은 큐비트를 사용하여 최대 컷, 최소 분할, 최대 클리크, 최대 무게 있는 독립 집합 등의 다양한 NP-난이도 조합 최적화 문제를 해결할 수 있는 로그 큐비트 인코딩 기법을 소개한다. 문제를 로그 인코딩 기반의 QUBO 프레임워크로 재구성함으로써, 저자들은 현재까지 가장 큰 실세계 양자 실행을 달성했으며, 실제 양자 하드웨어를 사용해 256노드 최대 컷 문제와 64개 객체 최소 분할 문제를 성공적으로 실행했다.

ABSTRACT

NP-hard problems are not believed to be exactly solvable through general polynomial time algorithms. Hybrid quantum-classical algorithms to address such combinatorial problems have been of great interest in the past few years. Such algorithms are heuristic in nature and aim to obtain an approximate solution. Significant improvements in computational time and/or the ability to treat large problems are some of the principal promises of quantum computing in this regard. The hardware, however, is still in its infancy and the current Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) computers are not able to optimize industrially relevant problems. Moreover, the storage of qubits and introduction of entanglement require extreme physical conditions. An issue with quantum optimization algorithms such as QAOA is that they scale linearly with problem size. In this paper, we build upon a proprietary methodology which scales logarithmically with problem size - opening an avenue for treating optimization problems of unprecedented scale on gate-based quantum computers. In order to test the performance of the algorithm, we first find a way to apply it to a handful of NP-hard problems: Maximum Cut, Minimum Partition, Maximum Clique, Maximum Weighted Independent Set. Subsequently, these algorithms are tested on a quantum simulator with graph sizes of over a hundred nodes and on a real quantum computer up to graph sizes of 256. To our knowledge, these constitute the largest realistic combinatorial optimization problems ever run on a NISQ device, overcoming previous problem sizes by almost tenfold.

연구 동기 및 목표

• 기존의 QAOA와 같은 양자 최적화 알고리즘의 선형 큐비트 스케일링 제한을 극복하여 현재 NISQ 장치에서 해결 가능한 문제의 크기를 제한하는 데 목적이 있다.
• 문제 크기에 관계없이 오직 O(log n) 큐비트만을 사용하여 다양한 NP-난이도 조합 최적화 문제를 인코딩하고 해결할 수 있는 일반 목적의 양자 알고리즘을 개발하는 데 목적이 있다.
• 특허 기반의 로그 인코딩 기술을 활용하여 현재의 노이지 중간 규모 양자(NISQ) 하드웨어에서 대규모 산업적 관련 최적화 문제를 실행할 수 있는 가능성을 입증하는 데 목적이 있다.
• 최대 컷을 넘어서 다른 NP-난이도 문제로의 로그 인코딩 기법의 적용 범위를 확장하기 위해 감소 기법과 QUBO 재구성 기법을 활용하는 데 목적이 있다.
• 모의 실험과 실제 양자 하드웨어 실행을 통한 실험적 검증을 통해, 보편적인 게이트 기반 양자 프로세서에서 최대 256노드까지의 예기치 않은 문제 크기로의 실행을 달성하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 핵심 방법은 그래프의 각 노드를 log₂n 큐비트에 인코딩된 이진 레이블로 표현하는 로그 큐비트 인코딩을 사용하는 것으로, 기존의 n에서 ⌈log₂n⌉으로 요구되는 큐비트 수를 극적으로 줄인다.
• 문제 특화 감소 기법을 통해 NP-난이도 문제를 최대 컷 문제로 매핑함으로써, 다양한 문제 유형 간 동일한 로그 인코딩 프레임워크를 활용할 수 있도록 한다.
• 일반적인 이차 무제약 이진 최적화(QUBO) 문제의 경우, QUBO 행렬을 알고리즘의 해밀토니안 구조와 호환되는 형태로 변환함으로써 로그 인코딩과 직접 통합할 수 있도록 하는 sQUBO 표현 방식을 도입한다.
• 양자 회로는 변동형 양자 접근 방식을 사용하며, 문제 해밀토니안의 기대값을 최소화하기 위해 반복적으로 매개변수를 조정하는 고전 최적화기(예: COBYLA 또는 유전 알고리즘)를 활용한다.
• 관측량의 기대값은 파울리 스트링 분해를 통해 계산되며, 해밀토니안이 파울리 행렬의 텐서곱의 합으로 표현되어 NISQ 장치에서 측정 기반 에너지 추정이 가능하게 한다.
• 이 방법은 문제 크기가 100개 이상인 그래프에 대해 양자 시뮬레이터(최대 100+ 노드)와 실제 양자 하드웨어(IBM Osprey, 최대 256 노드)에서 테스트되었으며, 다양한 최적화기와 문제 인스턴스 간 결과를 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그 인코딩을 활용하여 기존의 클래스적 대응보다 지수적으로 적은 큐비트로 NP-난이도 최적화 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 로그 인코딩 기법은 최대 컷을 넘어서 최소 분할 및 최대 클리크와 같은 다른 NP-난이도 문제로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ3 현재 NISQ 장치에서 이 로그 인코딩 접근 방식을 통해 실질적으로 해결할 수 있는 문제의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ4 다양한 문제 인스턴스와 최적화기에서 양자 시뮬레이터와 실제 양자 하드웨어 간의 알고리즘 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 sQUBO 표현 방식은 일반성 또는 확장성의 손실 없이 임의의 QUBO 문제를 로그 인코딩 프레임워크에 원활하게 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 실제 양자 하드웨어에서 256노드 최대 컷 문제를 성공적으로 해결했으며, 이는 현재까지 보편적인 게이트 기반 양자 컴퓨터에서 해결된 가장 큰 실세계 조합 최적화 문제이다.
• 실제 하드웨어에서 64개 객체 최소 분할 문제를 해결했으며, 이는 이전 문제 크기(약 25~30개 객체)에 비해 상당한 발전을 의미한다.
• 양자 시뮬레이터에서 100개 이상의 노드를 가진 문제 인스턴스에 대해 안정적인 수렴을 달성하여, 노이즈가 존재하는 환경에서도 확장성과 강건성을 입증했다.
• COBYLA 및 유전 알고리즘과 같은 고전 최적화기의 사용으로 모든 테스트 문제 크기에서 일관되고 측정 가능한 품질 향상이 이루어졌다.
• 큐비트 수를 n에서 ⌈log₂n⌉으로 줄여, 최대 256노드 문제를 오직 8큐비트로 인코딩함으로써 큐비트 수를 32배 감소시켰다.
• 결과는 더 작은, 더 높은 정밀도를 가진 양자 장치가 더 큰 노이즈가 있는 장치보다 이 로그 인코딩을 사용할 경우 더 우수한 성능을 보일 수 있음을 보여주며, 회로 깊이와 SWAP 게이트 수의 감소 덕분이다.