[논문 리뷰] Solving $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\mathbb{F}_{2^n}$ with $\gcd(n,k)=1$

K. H. Kim, Sihem Mesnager|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\gcd(n,k) = 1$ 조건 하에 $\mathbb{F}_{2^n}$에서 방정식 $x^{2^k+1} + x + a = 0$에 대한 완전한 해를 제시하며, M"uller-Cohen-Matthews 다항식과 딕슨 다항식을 사용하여 $a$에 대한 모든 가능한 근을 명시적으로 계산한다. 주요 기여는 방정식이 0개, 1개 또는 3개의 해를 가질 조건을 완전히 규명하여 오랫동안 미해결이었던 유한체 이론 분야의 열린 문제를 해결하고, 모든 경우에 대해 명시적인 공식을 제공한다는 데 있다.

ABSTRACT

Let $N_a$ be the number of solutions to the equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\GF {n}$ where $\gcd(k,n)=1$. In 2004, by Bluher \cite{BLUHER2004} it was known that possible values of $N_a$ are only 0, 1 and 3. In 2008, Helleseth and Kholosha \cite{HELLESETH2008} have got criteria for $N_a=1$ and an explicit expression of the unique solution when $\gcd(k,n)=1$. In 2014, Bracken, Tan and Tan \cite{BRACKEN2014} presented a criterion for $N_a=0$ when $n$ is even and $\gcd(k,n)=1$. This paper completely solves this equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ with only condition $\gcd(n,k)=1$. We explicitly calculate all possible zeros in $\GF{n}$ of $P_a(x)$. New criterion for which $a$, $N_a$ is equal to $0$, $1$ or $3$ is a by-product of our result.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 부분적인 결과만 있었던 조건 $\gcd(n,k) = 1$ 하에 $\mathbb{F}_{2^n}$에서 방정식 $x^{2^k+1} + x + a = 0$를 완전히 해결하는 것.
• 해의 개수와 성격을 규명하는 열린 문제를 해결하기 위해 $\mathbb{F}_{2^n}$ 내 모든 가능한 근에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 이전에 알려진 해의 개수($N_a = 0, 1, 3$) 결과들을 통합하고 확장하기 위해 대수적 구조와 트레이스 조건에 기반한 새로운 기준을 도출하는 것.
• 근을 찾는 문제를 두 개의 독립적인 부분문제로 분해하는 것: M"uller-Cohen-Matthews 다항식과 딕슨 다항식에 대한 역상 계산 문제로 분해하는 것.

제안 방법

• 유한체의 성질과 특성 2에서의 다항식 항등식을 활용하여 대칭성을 이용해 $k$가 홀수인 경우로 문제를 단순화한다.
• 문헌 [3]의 핵심 다항식 항등식을 사용하여 근을 찾는 문제를 두 개의 독립적인 부분문제로 분해한다: M"uller-Cohen-Matthews(MCM) 다항식과 딕슨 다항식에 대한 역상 문제 해결.
• MCM 역상 문제는 MCM 다항식을 도브베르트인 다항식과 연결하여, 선형 방정식 $x^{2^k} + x = b$에 대한 명시적 해 공식을 유도함으로써 해결한다.
• 딕슨 다항식의 역상 문제는 딕슨 다항식의 알려진 성질, 특히 항등식 $D_k(x + 1/x) = x^k + x^{-k}$를 활용하여 해결한다.
• 두 부분문제의 결과를 결합하여 $a$, $k$, $n$에 대한 명시적 표현을 통해 모든 근을 구성한다.
• 해의 개수를 결정하기 위해 $T$ 또는 $T'$가 $\mathbb{F}_{2^n}$에 속하는지 여부를 판단하는 트레이스 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 2에서 $\gcd(n,k) = 1$ 조건 하에 $a \in \mathbb{F}_{2^n}^*$에 대해 방정식 $x^{2^k+1} + x + a = 0$이 정확히 한 개의 해를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 언제 세 개의 서로 다른 해를 가지며, 그 해의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 언제 해가 없으며, 이를 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 근은 M"uller-Cohen-Matthews 다항식과 딕슨 다항식과 같은 알려진 특수 다항식을 사용해 닫힌 형식으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 $\gcd(n,k) = 1$ 하에 방정식 $x^{2^k+1} + x + a = 0$은 $\mathbb{F}_{2^n}$에서 정확히 0개, 1개 또는 3개의 해를 가지며, 이는 이전의 추측을 확인한다.
• M"uller-Cohen-Matthews 다항식과 딕슨 다항식을 사용하여 $a$, $k$, $n$에 대한 모든 근에 대한 명시적 공식이 제공된다.
• 홀수 $k$인 경우, 해의 개수는 $T = 1 + \frac{1}{S_{n,k}(R_{k,k'}(a^{-q/2}))}$가 $\mu_{2^n+1}^*$ 내의 세제곱수인지 또는 $\mathbb{F}_{2^n}$에 속하는지에 따라 달라진다.
• 짝수 $k$인 경우, 해의 개수는 $T' = 1 + \frac{1}{S_{n,l}(R_{l,l'}(a^{-(q')^2/2}))}$가 $\mu_{2^n+1}^*$ 내의 세제곱수인지 또는 $\mathbb{F}_{2^n}$에 속하는지에 따라 결정된다.
• 만약 $k$가 홀수이고 $T \in \mathbb{F}_{2^n}$이면, 방정식은 유일한 해를 가지며 그 해는 $\frac{(c + 1/c)^{q-1}}{Y T_k(1/Y)^{2/q}}$로 주어진다. 여기서 $c = T^{(q+1)^{-1} \mod 2^n - 1}$ 이고 $Y = T + 1/T$ 이다.
• 결과들은 헬레세스와 콜로샤(2008) 및 브락슨 등(2014)의 이전 기준을 복원하고 일반화하여 하나의 프레임워크 내에서 통합한다.