[논문 리뷰] Some 3-manifold groups with the same finite quotients

John Hempel|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비호모미어피크한 3차원 다면체—특히 유리 오일러 특성이 0인 세이프트 피브리드 공간—의 예를 제시한다. 이들 다면체의 기본군은 서로 동형이 아니지만 동일한 유한 몫군을 가지며, 따라서 동형의 프로파인트 완비션을 가진다. 이는 비동형이지만 유한 몫군이 동일한 경우를 보여준다. 또한 경계를 가진 다면체에 대해서는, 동형의 기본군을 가진 경우에도 경계 구조가 다를 수 있으나, 동일한 유한 경계 쌍 몫군을 가지며, 이는 이러한 3차원 다면체 군과 그 경계 자료를 구분하는 데에는 유한 몫군만으로는 부족하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We give examples of closed, oriented 3-manifolds whose fundamental groups are not isomorphic, but yet have the same sets of finite quotient groups; hence the same profinite completions. We also give examples of compact, oriented 3-manifolds with non-empty boundaries whose fundamental groups though isomorphic have distinct peripheral structures, but yet have the same sets of finite peripheral pair quotients (defined below). The examples are Seifert Fibered Spaces with zero rational Euler number; moreover most of these manifolds give rise to such examples.

연구 동기 및 목표

• 비동형의 기본군을 가진 닫힌, 방향이 주어진 3차원 다면체를 구성하여, 동일한 유한 몫군 집합을 가지도록 하는 것.
• 프로파인트 완비션이 비동형인 특정 3차원 다면체 군을 구분할 수 없음을 보여주는 것.
• 경계가 있는 컴acts 3차원 다면체로 분석을 확장하여, 동형의 기본군을 가진 경우에도 비동형의 경계 구조를 가질 수 있으나, 동일한 유한 경계 쌍 몫군을 가짐을 보여주는 것.
• 주기적 모노드로미를 가진 표면의 뭉치를 이용한 명시적 예를 제시하는 것, 특히 유리 오일러 수가 0인 세이프트 피브리드 공간.
• 기하학적 분할과 잔여 유한성의 맥락에서, 프로파인트 불변량이 3차원 다면체 군 분류에 한계를 가진다는 것을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 반직접곱 구성의 사용: π₁(Mϕ) ≅ A ⋊ψ ℤ, 여기서 A는 표면의 기본군이고 ψ는 주기적 자기동형사상이다.
• ord(ψ)와 서로소인 k에 대해, Gψ × ℤ와 Gψᵏ × ℤ가 동형이므로 동일한 유한 몫군을 가짐을 이용한다.
• G × ℤ ≅ H × ℤ 이면 G와 H가 동일한 유한 몫군을 가진다는 군론적 결과(Baumslag)를 적용한다.
• 경계 기본군의 포함 사상에 의한 이미지인 H에 대해, 쌍(G, H)의 유한 몫군을 통해 경계 구조를 분석한다.
• 유한 차수를 가진 표면의 모노드로미 ϕ를 고려하고, ord(ϕ)와 서로소인 k에 대해 ϕᵏ를 고려하여, π₁(Mϕᵏ) × ℤ ≅ π₁(Mϕ) × ℤ임을 보인다.
• 한 개의 경계 성분을 가진 표면의 경우, 경계 쌍 (π₁(Mϕ), i∗(π₁(∂Mϕ)))는 쌍의 동형사상에 대해 잘 정의되어 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비동형인 3차원 다면체 군이 동일한 유한 몫군을 가질 수 있는가? 이는 동형의 프로파인트 완비션을 의미한다.
• RQ2 유리 오일러 수가 0인 세이프트 피브리드 공간은 이러한 비동형 군이 동일한 유한 몫군을 가지는 예를 제공하는가?
• RQ3 경계가 있는 3차원 다면체의 동형 기본군이 서로 다른 경계 구조를 가질 수 있지만, 동일한 유한 경계 쌍 몫군을 가지는가?
• RQ4 모노드로미 자기동형사상의 차수와 그 거듭제곱이 기본군의 프로파인트 유형을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 프로파인트 완비션 이외의 기하학적 또는 위상수학적 불변량은 이러한 3차원 다면체를 구분하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 임의의 닫힌, 방향이 주어진 표면 F의 주기적, 방향을 유지하는 위상수학적 변환 ϕ와 ord(ϕ)와 서로소인 k에 대해, π₁(Mϕ)와 π₁(Mϕᵏ)는 비동형일지라도 동일한 유한 몫군을 가진다.
• π₁(Mϕ)와 π₁(Mϕᵏ)의 프로파인트 완비션은 동형이므로, 프로파인트 완비션이 이러한 비동형 3차원 다면체 군을 구분하지 못함을 보여준다.
• 경계가 있는 다면체(한 개의 경계 성분)의 경우, π₁(Mϕ)와 π₁(Mϕᵏ)는 동형이지만, k ≡ ±1 mod ord(ϕ)가 아닐 경우 경계 구조는 다를 수 있다.
• 비록 기본군은 동형이지만 경계 구조는 비동형이지만, 유한 몫군 쌍의 경계 군 쌍은 동일하다. 이는 정리 1.2에 의해 보장된다.
• 렌즈 공간 토러스 코어의 경우(세이프트 피브리드 공간으로 S² 위에 두 개의 특이 섬유를 가짐), α₁α₂/2개의 서로 다른 다면체가 존재하며, 이들은 동형의 기본군과 동일한 유한 경계 쌍 몫군을 가지지만, 비동형의 경계 시스템을 가진다.
• 이 다면체들은 상호로 순환 덮개를 이룬다. 이들의 최소 렌즈 공간에 대한 포함관계는 위상적으로 이들을 구분할 수 있으며, 이는 유한 몫군만으로는 이들을 구분할 수 없음에도 불구하고 성립한다.