[논문 리뷰] Some Algebraic Properties Of Linear Synchronous Cellular Automata

Sreeya Ghosh, Sumita Basu|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 30.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일차원 선형 동기 세포자동우주(CA)의 대수적 성질을 조사하며, 국소적 전이 함수와 전역적 전이 함수 간의 관계에 초점을 맞춘다. 좌측 이동 및 우측 이동 CA가 가역적임을 증명하고, 동일한 상태 집합을 가진 항등, 좌측 이동, 우측 이동 CA로 이루어진 집합이 복합에 대해 아벨 군을 이룬다는 것을 보이며, 선형 CA에 대한 기본적인 대수적 구조를 확립한다.

ABSTRACT

Relation between global transition function and local transition function of a homogeneous one dimensional cellular automaton (CA) is investigated for some standard transition functions. It could be shown that left shift and right shift CA are invertible. The final result of this paper states that the set of all left and right shift CA together with the identity CA on the same set forms an abelian group.

연구 동기 및 목표

• 일차원 균일 선형 세포자동우주에서 국소적 전이 함수와 전역적 전이 함수 간의 관계를 분석하기.
• 표준 CA, 특히 이동 연산의 가역성 조사하기.
• 동일한 상태 집합을 가진 모든 CA의 집합에 대해 이진 연산 정의하고 그 대수적 성질 연구하기.
• 항등, 좌측 이동, 우측 이동 CA의 집합이 복합에 대해 아벨 군을 이룬다는 것을 확립하기.
• 군 이론을 사용하여 선형 동기 CA에 대한 형식적인 대수적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 유한 상태 집합 Q, 전역 구성 Q^Z, 전역 전이 함수 τ를 사용한 세포자동우주의 형식적 정의.
• 이웃 영역 반경 r과 상태 전이 기반으로 국소 전이 함수 μ_i 정의.
• 전역 전이 함수의 복합을 이진 연산 ∗로 정의: (τ₁ ∗ τ₂)(C) = τ₁(τ₂(C)).
• ∗에 대한 닫힘, 결합법칙, 항등원 성립을 전역 전이 함수 집합에서 증명.
• 함수 복합을 통해 m자리 좌측 이동 및 우측 이동 함수가 상호 역함수임을 보여줌.
• 군 이론의 적용을 통해 항등, 좌측 이동, 우측 이동 CA의 집합이 ∗에 대해 아벨 군을 이룸을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 선형 동기 세포자동우주에서 전역 전이 함수와 국소 전이 함수는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 이동 연산과 같은 표준 세포자동우주 중에서 어떤 것이 가역적이며, 그 역함수는 무엇인가?
• RQ3 동일한 상태 집합을 가진 모든 CA의 집합에 대해 이진 연산을 정의하면 군 구조를 얻을 수 있는가?
• RQ4 이동 함수 복합에 대해 어떤 대수적 성질, 예를 들어 교환법칙과 닫힘 성질이 성립하는가?
• RQ5 항등, 좌측 이동, 우측 이동 CA의 집합이 함수 복합에 대해 군을 이룬다 할 수 있는가?

주요 결과

• m자리 좌측 이동 CA는 가역적이며, 그 역함수는 m자리 우측 이동 CA이고, 그 반대도 마찬가지이다.
• 모든 좌측 이동 및 우측 이동 CA와 항등 CA로 이루어진 집합은 함수 복합에 대해 아벨 군을 이룬다.
• 고정된 상태 집합을 가진 모든 CA의 집합에서 전역 전이 함수 복합에 의해 정의된 이진 연산 ∗는 결합법칙과 닫힘 성질을 갖는다.
• 항등 CA는 이항 연산 ∗에 대한 항등원으로 작용한다.
• 항등, 좌측 이동, 우측 이동 CA로 이루어진 군은 교환법칙이 성립하므로 아벨 군이다.
• 이진 CA의 보완 전이 함수는 자기 자신을 역함수로 가지며, ∗에 대해 최소 비자명 군을 형성한다.