[논문 리뷰] Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators (Revised)

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 30.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 원래 설정에서 $[0,1)$에서 상수를 유지하지 못하는 결함을 수정하기 위해 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자를 재정의하여 모든 $x \in [0,1]$에 대해 $S_{n,p,q}(1;x) = 1$이 되도록 한다. 새로운 연산자는 코로브킨의 정리에 의해 $[0,1]$에서 연속함수로의 균일수렴을 보여주며, 연속성 모듈러스와 모멘트 추정을 사용한 직접적 근사 정리도 수립된다.

ABSTRACT

In this paper, we have given a corrigendum to our paper "Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators" published in Applied Mathematics and Computation $264 (2015) 392-402.$ We introduce a new analogue of Bernstein-Stancu operators and we call it as $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We study approximation properties based on Korovkin's type approximation theorem of $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We also establish some direct theorems.

연구 동기 및 목표

• 원래 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자가 $[0,1)$에서 상수를 유지하지 못하는 결함을 보완하기 위해 스케일링 인자 $p^{-n(n-1)/2}$를 포함한 정규화된 형태를 도입한다.
• 기존의 $q$-베르슈타인 및 고전적 베르슈타인-스탄추 연산자를 일반화하는 새로운 양의 선형 연산자 클래스인 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자를 정의한다.
• 수열 $p_n \to 1$, $q_n \to 1$, $p_n^n \to 1$, $q_n^n \to 1$를 만족하는 조건 하에서, 수정된 연산자가 $[0,1]$에서 연속함수로 균일수렴함을 증명한다.
• 연속성 모듈러스와 두 번째 차수 모멘트 추정을 사용하여 직접적 근사 정리를 유도한다.
• 개선된 수렴 행동과 선형 함수의 유지 특성을 보장하는 $(p,q)$-미적분 설정으로 근사 이론 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 수정된 연산자 형태 도입: $S_{n,p,q}(f;x) = \frac{1}{p^{n(n-1)/2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_{p,q} p^{k(k-1)/2} x^k \prod_{s=0}^{n-k-1}(p^s - q^s x) f\left(\frac{p^{n-k}[k]_{p,q} + \alpha}{[n]_{p,q} + \beta}\right)$.
• $p \neq q$일 때 $[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$로 정의된 $(p,q)$-정수를 사용하며, $p = q$ 및 $p = 1$의 특수 경우를 포함한다.
• 조합적 항등식과 $p,q$-미적분 성질을 활용하여 $S_{n,p,q}(1;x)$, $S_{n,p,q}(t;x)$, $S_{n,p,q}(t^2;x)$의 모멘트 항등식을 증명한다.
• 선형성과 모멘트 전개를 이용해 두 번째 차수 모멘트 $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$를 유도하며, 이는 $q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}$, $[n]_{p,q}$, $p^{n-1}$에 의존함을 보여준다.
• 코로브킨 유형 근사 정리 적용을 위해 $n \to \infty$일 때 테스트 함수 $1, t, t^2$에 대한 수렴성을 $p_n, q_n \to 1$ 조건 하에 검증한다.
• 연속성 모듈러스 $\omega(f;\delta)$를 사용하여 직접적 근사 결과를 수립하며, 수렴 속도가 $\delta_n = \sqrt{S_{n,p,q}((t-x)^2;x)}$에 의존함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자를 수정하여 $[0,1]$에서 상수 함수 $f(x) = 1$을 정확히 유지할 수 있는가?
• RQ2 수정된 연산자가 $[0,1]$에서 연속함수로 균일수렴하기 위해 필요한 수열 $p_n$과 $q_n$의 조건은 무엇인가?
• RQ3 수정된 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자에 대한 명시적 모멘트 추정치, 특히 $S_{n,p,q}(t;x)$와 $S_{n,p,q}(t^2;x)$의 값은 무엇인가?
• RQ4 수렴 속도와 오차 한계 측면에서 원래 설정에 비해 수정된 연산자가 근사 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 연속성 모듈러스에 기반한 직접적 근사 정리는 새로운 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자에 대해서도 성립하는가?

주요 결과

• 수정된 $(p,q)$-베르슈타인-스탄추 연산자는 모든 $x \in [0,1]$에 대해 $S_{n,p,q}(1;x) = 1$을 만족하여 원래 형태의 근본적인 결함을 수정한다.
• $\alpha = \beta = 0$일 때, 신규 연산자는 이전 연구에서 정의된 바와 같이 $(p,q)$-베르슈타인 연산자로 축소되며, 기존 $(p,q)$-미적분 프레임워크와의 일관성을 확보한다.
• 연산자 $S_{n,p,q}(t;x)$는 $\frac{[n]_{p,q}}{[n]_{p,q} + \beta}x + \frac{\alpha}{[n]_{p,q} + \beta}$로 명시적으로 주어지며, 선형 근사 행동을 보여준다.
• 두 번째 모멘트는 $S_{n,p,q}(t^2;x) = \frac{q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x^2 + \frac{[n]_{p,q}(2\alpha + p^{n-1})}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x + \frac{\alpha^2}{([n]_{p,q} + \beta)^2}$로 주어지며, 이는 2차 변동성을 반영한다.
• $\lim_{n\to\infty} p_n = 1$, $\lim_{n\to\infty} q_n = 1$, $\lim_{n\to\infty} p_n^n = 1$, $\lim_{n\to\infty} q_n^n = 1$ 조건 하에서, 연산자는 $[0,1]$에서 $f$로 균일수렴한다.
• 두 번째 차수 모멘트 $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$는 $n \to \infty$일 때 0으로 수렴하며, 코로브킨 의미에서 수렴성을 확인한다. 이는 $[n]_{p,q}$, $p^{n-1}$, $\beta$를 포함한 명시적 오차 항을 수반한다.